Задание № 3

На трех складах , и находится соответственно единиц одного и того же груза, который требуется доставить четырем потребителям , , и , заказ которых составляет единиц груза соответственно.

Стоимость перевозки единицы груза с -го склада -му потребителю составляет тыс.рублей: . Найти методом потенциалов план перевозки обеспечивающий минимальные затраты.

В-нт
12	70	50	80	80	20	40	60	9	10	1	5	2	1	8	3	4	3	3	2

Решение:

Математическая модель транспортной задачи:

F = ∑∑c_ijx_ij, (3.1)

при условиях:

∑x_ij = a_i, i = 1,2,…, m, (3.2)

∑x_ij = b_j, j = 1,2,…, n, (3.3)

x_ij ≥ 0

Запишем экономико-математическую модель для нашей задачи.

Переменные:

x₁₁ – количество груза из 1-го склада 1-му потребителю

x₁₂ – количество груза из 1-го склада 2-му потребителю

x₁₃ – количество груза из 1-го склада 3-му потребителю

x₁₄ – количество груза из 1-го склада 4-му потребителю

x₂₁ – количество груза из 2-го склада 1-му потребителю

x₂₂ – количество груза из 2-го склада 2-му потребителю

x₂₃ – количество груза из 2-го склада 3-му потребителю

x₂₄ – количество груза из 2-го склада 4-му потребителю

x₃₁ – количество груза из 3-го склада 1-му потребителю

x₃₂ – количество груза из 3-го склада 2-му потребителю

x₃₃ – количество груза из 3-го склада 3-му потребителю

x₃₄ – количество груза из 3-го склада 4-му потребителю

Ограничения по запасам:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ + x₁₄ ≤ 70 (для 1 склада)

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ + x₂₄ ≤ 50 (для 2 склада)

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ + x₃₄ ≤ 80 (для 3 склада)

Ограничения по потребностям:

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ = 80 (для 1 потребителя)

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ = 20 (для 2 потребителя)

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ = 40 (для 3 потребителя)

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ = 60 (для 4 потребителя)

Целевая функция:

9x₁₁ + 10x₁₂ + 1x₁₃ + 5x₁₄ + 2x₂₁ + 1x₂₂ + 8x₂₃ + 3x₂₄ + 4x₃₁ + 3x₃₂ + 3x₃₃ + 2x₃₄ → min

С целью составления двойственной задачи переменные x_ij в условии (3.2) заменим на u₁, u₂, u_i,.., u_m, а переменные x_ij в условия (3.3) на v₁, v₂, v_j,.., v_n.

Поскольку каждая переменная x_ij входит в условия (3.2, 3.3) и целевую функцию (3.1) по одному разу, то двойственную задачу по отношению к прямой транспортной задаче можно сформулировать следующим образом.

Требуется найти не отрицательные числа ui (при i = 1,2,…,m) и v_j (при j = 1,2,..,n), обращающие в максимум целевую функцию

G = ∑a_iu_i + ∑b_jv_j

при условии

u_i + v_j ≤ c_ij, i = 1,2,..,m; j = 1,2,..,n (3.4)

В систему условий (3.4) будет mxn неравенств.

По теории двойственности для оптимальных планов прямой и двойственной задачи для всех i,j должно быть:

u_i + v_j ≤ c_ij, если x_ij = 0,

u_i + v_j = c_ij, если x_ij ≥ 0,

Эти условия являются необходимыми и достаточными признаками оптимальности плана транспортной задачи.

Числа u_i , v_j называются потенциалами. Причем число u_i называется потенциалом поставщика, а число v_j – потенциалом потребителя.

По первой теореме двойственности в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G.

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	Запасы
1	9	10	1	5	70
2	2	1	8	3	50
3	4	3	3	2	80
Потребности	80	20	40	60

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 70 + 50 + 80 = 200

∑b = 80 + 20 + 40 + 60 = 200

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	Запасы
1	9	10	1	5	70
2	2	1	8	3	50
3	4	3	3	2	80
Потребности	80	20	40	60

Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 1 тыс. руб.

Для этого элемента запасы равны 70 единиц, потребности 40 единиц. Поскольку минимальным является 40 единиц, то вычитаем его.

x₁₃ = min(70,40) = 40 единиц

9	10	1	5	70 - 40 = 30
2	1	x	3	50
4	3	x	2	80
80	20	40 - 40 = 0	60

Искомый элемент равен 1 тыс. руб.

Для этого элемента запасы равны 50 единиц, потребности 20 единиц. Поскольку минимальным является 20 единиц, то вычитаем его.

x₂₂ = min(50,20) = 20 единиц.

9	x	1	5	30
2	1	x	3	50 - 20 = 30
4	x	x	2	80
80	20 - 20 = 0	0	60

Искомый элемент равен 2 тыс. руб.

Для этого элемента запасы равны 30 единиц, потребности 80 единиц. Поскольку минимальным является 30 единиц, то вычитаем его.

x₂₁ = min(30,80) = 30 единиц.

9	x	1	5	30
2	1	x	x	30 - 30 = 0
4	x	x	2	80
80 - 30 = 50	0	0	60

Искомый элемент равен 2 тыс. руб.

Для этого элемента запасы равны 80 единиц, потребности 60 единиц. Поскольку минимальным является 60 единиц, то вычитаем его.

x₃₄ = min(80,60) = 60 единиц.

9	x	1	x	30
2	1	x	x	0
4	x	x	2	80 - 60 = 20
50	0	0	60 - 60 = 0

Искомый элемент равен 4 тыс. руб.

Для этого элемента запасы равны 20 единиц, потребности 50 единиц. Поскольку минимальным является 20 единиц, то вычитаем его.

x₃₁ = min(20,50) = 20 единиц.

9	x	1	x	30
2	1	x	x	0
4	x	x	2	20 - 20 = 0
50 - 20 = 30	0	0	0

Искомый элемент равен 9 тыс. руб.

Для этого элемента запасы равны 30 единиц, потребности 30 единиц. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его.

x₁₁ = min(30,30) = 30 единиц.

9	x	1	x	30 - 30 = 0
2	1	x	x	0
4	x	x	2	0
30 - 30 = 0	0	0	0

	1	2	3	4	Запасы
1	9[30]	10	1[40]	5	70
2	2[30]	1[20]	8	3	50
3	4[20]	3	3	2[60]	80
Потребности	80	20	40	60

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность потребителей удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 9*30 + 1*40 + 2*30 + 1*20 + 4*20 + 2*60 = 590 тыс. руб.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 9; 0 + v₁ = 9; v₁ = 9

u₂ + v₁ = 2; 9 + u₂ = 2; u₂ = -7

u₂ + v₂ = 1; -7 + v₂ = 1; v₂ = 8

u₃ + v₁ = 4; 9 + u₃ = 4; u₃ = -5

u₃ + v₄ = 2; -5 + v₄ = 2; v₄ = 7

u₁ + v₃ = 1; 0 + v3 = 1; v3 = 1

	v1=9	v2=8	v3=1	v4=7
u1=0	9[30]	10	1[40]	5
u2=-7	2[30]	1[20]	8	3
u3=-5	4[20]	3	3	2[60]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij

(1;4): 0 + 7 > 5; ∆₁₄ = 0 + 7 - 5 = 2

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;4): 5

Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

1	2	3	4	Запасы
1	9[30][-]	10	1[40]	5[+]	70
2	2[30]	1[20]	8	3	50
3	4[20][+]	3	3	2[60][-]	80
Потребности	80	20	40	60

Цикл приведен в таблице (1,4 → 1,1 → 3,1 → 3,4).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 30 единиц. Прибавляем 30 единиц к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 30 единиц из х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	9	10	1[40]	5[30]	70
2	2[30]	1[20]	8	3	50
3	4[50]	3	3	2[30]	80
Потребности	80	20	40	60

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₃ = 1; 0 + v₃ = 1; v₃ = 1

u₁ + v₄ = 5; 0 + v₄ = 5; v₄ = 5

u3 + v4 = 2; 5 + u3 = 2; u₃ = -3

u₃ + v₁ = 4; -3 + v₁ = 4; v₁ = 7

u₂ + v₁ = 2; 7 + u2 = 2; u₂ = -5

u₂ + v₂ = 1; -5 + v₂ = 1; v₂ = 6

	v1=7	v2=6	v3=1	v4=5
u1=0	9	10	1[40]	5[30]
u2=-5	2[30]	1[20]	8	3
u3=-3	4[50]	3	3	2[30]

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_j ≤ c_ij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 1*40 + 5*30 + 2*30 + 1*20 + 4*50 + 2*30 = 530 тыс. руб.

Проверим оптимальность найденного плана по первой теореме двойственности (в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G).

G = 0*0 -5*50 -3*80 + 7*80 + 6*20 + 1*40 + 5*60 = 530 тыс. руб.

Рис. 3.1. Граф оптимального плана перевозок

Анализ оптимального плана.

Из 1-го склада необходимо груз направить 3-му потребителю (40 единиц), 4-му потребителю (30 единиц)

Из 2-го склада необходимо груз направить 1-му потребителю (30 единиц), 2-му потребителю (20 единиц)

Из 3-го склада необходимо груз направить 1-му потребителю (50 единиц), 4-му потребителю (30 единиц)