Контрольная работа

по дисциплине «Экономико-математическое моделирование»

для студентов 3 курса заочного отделения

направление подготовки 38.03.01 Экономика (бакалавр)

профиль"Финансы и кредит"

VI семестр (2016/17 уч. год)

Содержание

1

Содержание 2

Задание № 1 3

Задание № 3 21

Задание № 4 29

Задание № 5 33

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 36

Задание № 1

Решить графическим методом задачу линейной оптимизации при условиях:

В-нт
2,12	1	2	-1	1	-2	-1	2	12	3	1	15

Решение:

Необходимо найти максимальное значение целевой функции:

F = x₁+2x₂ → max,

при системе ограничений:

1) Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

а) Построим уравнение -x₁+x₂ = -2 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = -2. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 2. Соединяем точку (0;-2) с (2;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством.

Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:

-1*0+1*0+2 ≥ 0, т.е. -x₁+x₂ + 2≥ 0 в полуплоскости ниже прямой.

б) Построим уравнение -x₁+2x₂ = 12 по двум точкам.

Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 6. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = -12. Соединяем точку (0;6) с (-12;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:

-1* 0 + 2* 0 - 12 ≤ 0, т.е. -x₁+2x₂ - 12≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

в) Построим уравнение 3x₁+x₂ = 15 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 15. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 5. Соединяем точку (0;15) с (5;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:

3*0 + 1*0 - 15 ≤ 0, т.е. 3x₁+x₂ - 15≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

или

2) Определяем границы области допустимых решений.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

3) Рассмотрим целевую функцию задачи F = x₁+2x₂ → max. 

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0:

F = x₁+2x₂ = 0.

Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1; 2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

-x₁+2x₂=12

3x₁+x₂=15

Решив систему уравнений, получим:

x₁ = 2.5714,

x₂ = 7.2857

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 1*2.5714 + 2*7.2857 = 17.1429

Изменение коэффициентов целевой функции.

Изменение значений коэффициентов c₁ и c₂ приводит к изменению угла наклона прямой z. Существует интервалы изменения коэффициентов c₁ и c₂, когда текущее оптимальное решение сохраняется. Задача анализа чувствительности и состоит в получении такой информации.

Необходимо определить интервал оптимальности для отношения c₁ / c₂ (или c₂ и c₁). Если значение отношения c₁ / c₂ не выходит за пределы этого интервала, то оптимальное решение в данной модели сохраняется неизменным.

Таким образом, в рамках анализа на чувствительность к изменениям коэффициентов целевой функции могут исследоваться вопросы:

1. Каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения.

2. На сколько следует изменить тот или иной коэффициент целевой функции, чтобы изменить статус некоторого ресурса.

На предыдущем рисунке видно, что функция достигает своего оптимума в точке, которая является пересечением прямых

(-x₁+2x₂=12) и (3x₁+x₂=15).

При изменении коэффициентов целевой функции эта точка останется точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона линии z будет лежать между углами наклона этих прямых. Алгебраически это можно записать следующим образом:

при условии c₁ ≠ 0

Или

при условии c₂ ≠ 0

Таким образом, мы получили две системы неравенств, определяющих интервал оптимальности.

При c₂ = 2

Или

-1 ≤ c₁ ≤ 6

При c₁ = 1

Или

-2 ≤ c₂ ≤ ¹/₃

Оценка ресурсов.

На данном этапе важно проанализировать следующие аспекты:

1. На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции.

2. На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции.

Оценка ресурса M₂

Концевые точки отрезка определяют интервал осуществимости для ресурса M₂.

Количество сырья, соответствующего точке (4.25,2.25), равно:

-1*4.25 + 2*2.25 = 0.25

Количество сырья, соответствующего точке (0,15), равно:

-1*0 + 2*15 = 30

Таким образом, интервал осуществимости для ресурса M₂ составляет:

0.25 ≤ M2 ≤ 30

Вычислим значение целевой функции в этих точках:

F(4.25,2.25) = 1·4.25 + 2·2.25 = 8.75

F(0,15) = 1·0 + 2·15 = 30

Изменение области решений при увеличении запасов ресурса M₂

Оценка ресурса M₃

Концевые точки отрезка определяют интервал осуществимости для ресурса M₃.

Количество сырья, соответствующего точке (0,6), равно:

3*0 + 1*6 = 6

Количество сырья, соответствующего точке (16,14), равно:

3*16 + 1*14 = 62

Таким образом, интервал осуществимости для ресурса M₃ составляет

6 ≤ M3 ≤ 62

Вычислим значение целевой функции в этих точках:

F(0,6) = 1·0 + 2·6 = 12

F(16,14) = 1·16 + 2·14 = 44

Изменение области решений при увеличении запасов ресурса M₃

y_i определяет ценность каждой дополнительной единицы дефицитного ресурса. Чем больше значение y_i, тем выше его приоритет при вложении дополнительных средств.

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

y₁-y₂+3y₃≥1

-y₁+2y₂+y₃≥2

2y₁+12y₂+15y₃ → min

y₁ ≥ 0

y₂ ≥ 0

y₃ ≥ 0

Отметим, что решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.

Для решения двойственной задачи используем вторую теорему двойственности.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

1*2.57-1*7.29 = -4.71 < 2

1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 1-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y₁ = 0

-1*2.57 + 2*7.29 = 12 = 12

2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-й ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₂ > 0).

3*2.57 + 1*7.29 = 15 = 15

3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-й ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₃ > 0).

Поскольку x₁>0, первое ограничение в двойственной задаче будет равенством.

Поскольку x₂>0, второе ограничение в двойственной задаче будет равенством.

С учетом найденных оценок, новая система примет вид:

y₁ = 0

y₁-y₂+3y₃ = 1

-y₁+2y₂+y₃ = 2

12y₂+15y₃ → min

Или

-y₂+3y₃ = 1

2y₂+y₃ = 2

12y₂+15y₃ → min

Решая систему графическим способом, находим оптимальный план двойственной задачи:

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

-y₁+3y₂=1

2y₁+y₂=2

Решив систему уравнений, получим:

y₁ = 0.7143, y₂ = 0.5714

Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

F(X) = 12*0.7143 + 15*0.5714 = 17.1429

y₂ = 0.71

y₃ = 0.57

Z(Y) = 12*0.71+15*0.57 = 17.14

Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что продукт №1 экономически выгодно производить, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₁ > 0)

0*0 + (-1)*0.71 + 3*0.57 = 1 = 1

2-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что продукт №2 экономически выгодно производить, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₂ > 0)

0*0 + 2*0.71 + 1*0.57 = 2 = 2

Задание №2

Предприятие планирует выпуск двух видов продукции и , на производство которых расходуется три вида сырья , и запас каждого из них равен . На производство единицы -го вида продукции требуется -го вида сырья. Прибыль от реализации единицы -го вида продукции составляет тыс. рублей. Составить математическую модель задачи и симплекс-методом найти план производства, обеспечивающий максимальную прибыль.

В-нт
2,12	3	5	0	7	9	5	3	7	5	4	13

Решение:

Определим максимальное значение целевой функции

F(X) = 3x₁+5x₂ 

при следующих условиях-ограничений.

7x₂≤9

5x₁+3x₂≤7

5x₁+4x₂≤13

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₃.

В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄.

В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅. 

0x₁ + 7x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 9

5x₁ + 3x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ = 7

5x₁ + 4x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 13

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

A =	0 7 1 0 0 5 3 0 1 0 5 4 0 0 1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные переменные задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₃, x₄, x_5.

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X₁ = (0,0,9,7,13)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5
x3	9	0	7	1	0	0
x4	7	5	3	0	1	0
x5	13	5	4	0	0	1
F(X0)	0	-3	-5	0	0	0

Итерация №0.

1. Проверяем критерий оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определяем новую базисную переменную.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определяем новую свободную переменную.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2 и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (7) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	min
x3	9	0	7	1	0	0	1.29
x4	7	5	3	0	1	0	2.33
x5	13	5	4	0	0	1	3.25
F(X1)	0	-3	-5	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₃ в план 1 войдет переменная x₂.

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₃ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=7. На месте разрешающего элемента в плане получаем 1. В остальных клетках столбца x₂записываем нули. Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₂ и столбец x₂.

Все остальные элементы нового плана, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ, (2.1)

где

СТЭ - элемент старого плана,

РЭ - разрешающий элемент (7),

А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x1	x2	x3	x4	x5
9 / 7 = 1.29	0 / 7 = 0	7 / 7 = 1	1 / 7 = 0.14	0 / 7 = 0	0 / 7 = 0

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5
x2	1.29	0	1	0.14	0	0
x4	3.14	5	0	-0.43	1	0
x5	7.86	5	0	-0.57	0	1
F(X1)	6.43	-3	0	0.71	0	0

Итерация №1.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1 и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	min
x2	1.29	0	1	0.14	0	0	-
x4	3.14	5	0	-0.43	1	0	0.63
x5	7.86	5	0	-0.57	0	1	1.57
F(X2)	6.43	-3	0	0.71	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₄ в план 2 войдет переменная x₁.

Строка, соответствующая переменной x₁ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=5. На месте разрешающего элемента в плане получаем 1. В остальных клетках столбца x₁записываем нули. Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₁ и столбец x₁.

Все остальные элементы нового плана, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x1	x2	x3	x4	x5
3.14 / 5 = 0.63	5 / 5 = 1	0 / 5 = 0	-0.43 / 5 = -0.0857	1 / 5 = 0.2	0 / 5 = 0

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5
x2	1.29	0	1	0.14	0	0
x1	0.63	1	0	-0.0857	0.2	0
x5	4.71	0	0	-0.14	-1	1
F(X2)	8.31	0	0	0.46	0.6	0

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5
x2	1.29	0	1	0.14	0	0
x1	0.63	1	0	-0.0857	0.2	0
x5	4.71	0	0	-0.14	-1	1
F(X3)	8.31	0	0	0.46	0.6	0

Оптимальный план можно записать так:

x₁ = 0.6286, x₂ = 1.286

F(X) = 3*0.6286 + 5*1.286 = 8.3143

Графически решение можно представить следующим образом:

Анализ оптимального плана.

В оптимальный план вошла дополнительная переменная x₅. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 3-го вида в количестве 4.71.

Значение 0 в столбце x₁ означает, что использование x₁ - выгодно.

Значение 0 в столбце x₂ означает, что использование x₂ - выгодно.

Значение 0.46 в столбце x₃ означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна y₁=0.46.

Значение 0.6 в столбце x₄ означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна y₂=0.6.