Стационарлық күйлер үшін Шредингер теңдеуі

Шредингердің жалпы теңдеуінен шығатын дербес жағдай -дің уақытқа тәуелділігі ескерілмейтін стационар күйлерге арналған Шредингер теңдеуі болып табылады, сондықтан бұл күйлердегі энергия мәндері тіркелген (уақыт бойынша өзгермейтін) болып табылады.

Бұл жағдайда бөлшек қозғалатын күш өрісі стационарлы, яғни функциясы уақытқа байланыссыз және потенциалдық энергия мағынасын береді.

Теңдеудің шешімі екі функцияның – тек қана координата функциясы мен тек қана уақыт функцияларының көбейтіндісі түрінде берілуі мүмкін:

, мұндағы Е-бөлшектің толық энергиясы.

Шредингер теңдеуі:

қысқартулардан кейін стационар күйлер үшін Шредингер теңдеуін аламыз:

немесе

Бірінші туындыларымен бірге үзіліссіз, бірмәнді және соңғы жүйелі толқындық функциялардың ғана физикалық мағынасы болады. Бұл шарттар тек қана Е нің мәндері анықталған жиынтығы бар кезде ғана орындалады. Энергияның бұл мәндері меншікті деп аталады. Энергияның меншікті мәндеріне сәйкес келетін шешімдері меншікті функциялар деп аталады. Е-нің меншікті мәндері үзіліссіз де және дискретті де қатарларды түзуі мүмкін. Алғашқы жағдайда үзіліссіз (немесе тұтас) спектр туралы, екіншісінде дискретті спектр туралы сөз қозғалуы мүмкін.

Еркін бөлшектің қозғалысы

Еркін бөлшек үшін (бөлшек х осі бойымен қозғалсын) болсын.

Шредингер теңдеуінің: шешімі мынадай функция болады: , мұндағы -толқындық сан – кез келген оң мәнді қабылдай алады, -энергияның үзіліссіз спектрі.

Сонымен, еркін кванттық бөлшек жазық монохроматты де Бройль толқынымен сипатталады. Бұған кеңістікте еркін бөлшектің барлық орындары тең ықтималды болатын, уақытқа байланыссыз, бөлшектің кеңістіктің берілген нүктесінде табылуының ықтималдық тығыздығы , сәйкес келеді.

«Қабырғалары» шексіз биік бір өлшемді тікбұрышты «потенциалдық шұңқырдағы» бөлшек

Бір өлшемді «потенциалдық шұңқырды» қарастырамыз:

мұндағы l-«шұңқырдың» ені, энергия шұңқыр түбінен бастап есептелінеді.

Шұңқыр шегіндегі стационар күйлер үшін Шредингер теңдеуі:

немесе ,

мұндағы, .

Бөлшек «шұңқырдан» шығып кете алмайды, сондықтан толқындық функция «шұңқырдан» тыс жерде нөлге тең, олай болса «шұңқыр» шекараларында да толқындық функция нөлге айналуы тиіс:

Мұндай шекаралық шарттарды және болған кезде Шредингер теңдеуінің шешімі қанағаттандырады

Өйткені , онда энергияның меншікті мәндері мынаған тең:

Бұл кездегі энергияның ең аз болатын мүмкін мәні:

Cөйтіп, шексіз биік «потенциал шұңқырдағы» бөлшектің энергиясы тек қана белгілі дискреттік мәндерді ғана қабылдай алады, яғни квантталады.

Энергияның квантталған мәндері Е_п энергия деңгейлері деп, ал бөлшектің энергетикалық деңгейлерін анықтайтын п-саны бас кванттық сан деп аталады.

Нормалау шартын ескерсек, онда меншікті толқындық функциялар , мынадай түрге келеді:

Суретте бөлшектің шұңқыр «қабырғасынан» әр түрлі қашықтықтарда болуы мынадай өрнекпен анықталатын, ықтималдық тығыздығы мен меншікті функциялар графиктері кескінделген.