Тербелістер мен толқындар. Еркін тербелістер. Гармониялық тербелістер

Тербелістер деп белгілі бір дәрежеде қайталанып отыратын процестерді айтады. Қайталанатын процестің физикалық табиғатына байланысты тербелістер: механикалық, электромагниттік, электрмеханикалық және т.б. түрге бөлінеді.

Тербелмелі жүйеге жасалатын әсердің сипатына қарай еркін тербелістер, еріксіз тербелістер, автотербелістер және параметрлік тербелістер деп ажыратылады.

Еркін тербелістер деп қозғалысқа келтірілгеннен кейін немесе тепе-теңдік қалпынан шығарылғаннан соң жүйеге сырттан әсер етпейтін жағдайдағы тербелісті айтады.

Еріксіз тербелістер деп сыртқы күштердің әсерінен болатын тербелісті айтады.

Автотербелістерге сыртқы әсерді жүйенің өзі басқаратын (физикалық маятник) тербелістер жатады.

Параметрлік тербелістер кезінде сыртқы әсер салдарынан жүйенің қандай да болсын параметрі, мысалы тербеліс жасап тұрған шарик ілінген жіптің ұзындығы, периодты түрде өзгерсе.

Гармониялық тербелістер деп уақыт бойынша синус немесе косинус заңына сәйкес өзгеретін тербелістерді айтады.

Тербелмелі қозғалысты сипаттап шығу үшін пружинаға ілінген, массасы m шариктен тұратын жүйені қарастырайық (2.1-сурет).

2.1-сурет

Тепе-теңдік күйінде mg күші серпімділік күшімен теңгеріледі:

(2.1)

шарикті х – қашықтыққа ығыстырсақ онда, тең әсерлі күш:

мұнан

(2.2)

Бұл күшті квазисерпімді күш деп атайды. Жүйеге х ығысу беру үшін квазисерпімді күшке қарсы мынадай жұмыс істеу керек:

(2.3)

Жұмыс потенциалдық энергияның қорынан жасалынады, шығын жұмысқа тең:

. (2.4)

Шарикке арналған Ньютонның екінші заңы былай жазылады:

(2.5)

немесе

(2.6)

Бұл теңдеуді еркін тербелістің қозғалыс теңдеуі деп атайды. Мынадай белгілеу енгізейік:

мұндағы - тербелістің циклдік жиілігі деп аталады. Олай болса (2.6) теңдеуін қолданып мынадай өрнек аламыз:

(2.7)

Гармониялық тербелістің теңдеуі төмендегідей жазылады:

(2.8)

мұндағы А-тербеліс амплитудасы (тепе-теңдік қалыптан ең үлкен ығысу мәні). - шамасы тербеліс фазасы деп аталады, - тербелістің бастапқы фазасы.

Қайталану уақыт аралығын Т тербеліс периоды деп атайды

. (2.9)

Бірлік уақыт ішіндегі тербеліс саны v тербеліс жиілігі деп аталады

. (2.10)

2.2-сурет

(2.9) өрнегінен мынадай өрнек аламыз:

(2.11)

Гармониялық тербелістің жылдамдығы:

(2.12)

(2.12) өрнегін уақыт бойынша дифференциалдап үдеуге арналған өрнекті табамыз:

(2.13)

Мұнан үдеу мен ығысу қарама-қарсы фазада жататындығы көрінеді. 2.3-суретте ығысу, жылдамдық және үдеуге арналған графиктер келтірілген.

2.3-сурет

Толқындық теңдеулер. Егер серпімді (қатты, сұйық немесе газ тәрізді) ортаның кез келген жерінде бөлшектерінің тербелісін қоздырсақ, онда бөлшектер арасындағы өзара әсер салдарынан бұл тербеліс осы ортадағы бөлшектердің бірінен біріне кейбір жылдамдықпен тарайды. Тербелістің кеңістікте таралу процесі толқын деп аталады.

Толқын тарайтын ортаның бөлшектері толқынмен ілесіп кетпейді, олар өзінің тепе-теңдік қалпының маңында ғана тербеледі. Толқын таралатын бағытпен салыстырғандағы бөлшектер тербелісінің бағытына байланысты қума және көлденең толқындар болып бөлінеді.

Қума толқында ортаның бөлшектері толқынның таралу бағыты бойынша тербеледі.

2.4-сурет

Көлденең толқында ортаның бөлшектері толқынның таралу бағытына перпендикуляр бағытта тербеледі.

2.5-сурет

Бірдей тербелетін (бірдей фазада) ең жақын орналасқан бөлшектердің арасы толқын ұзындығы λ деп аталады (лямбда).

2.6-сурет

Толқын ұзындығы толқынның период ішінде таралатын қашықтығына тең болатындығы айқын:

(2.14)

мұндағы - толқынның фазалық жылдамдығы.

Толқын теңдеуі деп, тербелістегі нүктенің ығысуын оның x,y,z координаталары мен t уақыттың функциясы ретінде беретін өрнекті айтады:

. (2.15)

Жазық толқынның теңдеуін төмендегідей түрде жазамыз:

(2.16)

мұндағы к-толқындық сан деп аталады.

Кез келген толқынның теңдеуі толқындық теңдеу деп аталатын қандай да бір дифференциалдық теңдеудің шешімі болып табылады. Сондықтан біздің жазып отырған теңдеуіміздің дифференциалдық толқындық теңдеуі:

(2.17)

Осы теңдеуді Лаплас операторын пайдалана отырып, мына түрде жазуға болады:

(2.18)

Серпімді қума толқынның фазалық жылдамдығы Юнг модулымен ортаның тығыздығының қатынасының квадрат түбіріне тең:

. (2.19)

Осы сияқты көлденең толқынға арналған есептеулер жылдамдыққа арналған мына өрнекке келтіріледі

(2.20)

мұндағы G-ығысу модулы.

Толқын өзімен бірге энергия тасымалдайды. Қандай да бір бет арқылы бірлік уақыт ішінде толқын тасымалдайтын энергия мөлшері энергия ағыны (Ф) деп аталады.

Кеңістіктің әр түрлі нүктелеріндегі энергия ағысын сипаттау үшін энергия ағынның тығыздығы деп аталатын векторлық шама енгізіледі. Энергия ағыны тығыздығының векторын ең алғаш рет енгізген орыстың ғалымы Н.А.Умов болғандықтан, ол Умов векторы деп аталады.

(2.21)

мұндағы U-энергияның орташа мәні.

Энергия ағыны тығыздығы векторының бағыты энергия тасымалданатын бағытқа сәйкес келеді.