Максвелл теңдеулер жүйесінің толық түрі
Электромагиттік
өріс үшін Максвелдің теңдеулер жүйесінің
ІІІ түрі бұл
өрісі үшін Гаусс теоремасы болып
табылады. Көлемдік тығыздығы
тұйық беттің ішінде үздіксіз таралған
заряд үшін бұл теңдеу мынадай түрде
беріледі.
Максвеллдің төртінші теңдеуі – өрісі үшін Гаусс теоремасы
Сонымен, Максвелл теңдеулер жүйесінің интегралдық түрі:
Осы теңдеулер жүйесі толық болуы үшін электр және магнит өрісін қоздыратын ортаның жеке қасиеттерін сипаттайтын шамалармен толықтыру керек.
Осы қатыстар материалдық қатыстар деп аталады.
,
,
мұндағы,
және
сәйкес электрлік және магниттік
тұрақтылар,
және
– сәйкес диэлектрлік және магниттік
өтімділігі,
–
заттардың меншікті өтімділігі.
Максвелл теңдеулерінен:
электр өрісінің көзі электр заряды немесе уақытқа байланысты өзгеретін магнит өрісі болып табылады;
магнит өрісін қозғалыстағы зарядтар (электр тогы) немесе айнымалы электр өрісі қоздырады;
айнымалы магнит өрісі өзін қоздыратын электр өрісімен байланыста, ал айнымалы электр өрісі әр уақытта өзін тудыратын магнит өрісімен байланыста, яғни электр және магнит өрістері өзара бір-бірімен тығыз байланыста және олар ортақ электромагниттік өріс тудырады.
Стационар
өрістер үшін (
және
)
Максвелл теңдеулері:
,
,
,
Бұл жағдайда электр және магнит өрістері бір-біріне тәуелді емес, сондықтан тұрақты электр және магнит өрістерін жеке-жеке зерттеуге болады.
Векторлық анализден белгілі Стокс және Гаусстың теоремаларын қолданамыз:
Анықтама
бойынша
векторлық өрістің М нүктесіндегі
дивергенциясы мен роторы деп көлем
бойынша мына туындыларды айтады:
,
мұндағы,
және
интегралдар көлемі
аймақты қамтыған берілген М нүктесін
қоршайтын,
тұйық беттен өтетін векторлық өрістің
сәйкес скалярлық және векторлық ағындары.
Дивергенция өріс көздерінің өлшемі. Егер кейбір аймақтарда дивергенция нольге тең болса, онда осы аймақтағы векторлық өріс көзден бос болады. Өрістің дивергенциясы оң болатын өріс нүктелерін өріс көздері, ал терістері – векторлық өрістің ағуы деп аталады.
Стокс пен Гаусс теоремаларын қолданып, Максвелл теңдеулерінің дифференциалдық түрінің толық түрін көрсетуге болады.
,
,
Максвелл теңдеулері электр және магнит өрістерімен салыстырғанда симметриялы емес. Бұл, табиғатта электр зарядтарының бар, ал магниттік зарядтардың жоқ екендігіне байланысты.
Мысалы:
теңдеуі электр өрісінің көзі – оң электр
зарядтары екенін көрсетсе, ал ағындары
– теріс электр зарядтары екенін
көрсетеді.
теңдеуі магнит өрісінің көзі және
ағындары болатын – «магниттік зарядтардың»
болмайтындығын көрсетеді.
Егер зарядтар мен токтар кеңістікте үздіксіз таралса, онда Максвеллдің интегралдық және дифференциалдық түрдегі теңдеулері бір-біріне – эквивалентті.
Ортаның немесе өрістің қасиеттері секірмелі түрде өзгеретін беттерде үзілген беттер болатын болса, онда теңдеулердің интегралдық түрі анағұрлым жалпы болып табылады.
Орталар шекарасында Максвелл теңдеулерінің дифференциалдық түрі дұрыс болуы үшін, теңдеулерге кіретін шамалар секірмелі түрде өзгеретіндіктен, осы теңдеулерге осы екі ортаның шекарасындағы магнит өрісін қанағаттандыратын шекаралық шарттар енгізу керек.
Бұл қатынастар өткенде көрсетілгендей:
,
,
,
(бірінші және соңғы теңдеулер бөлімдер шекарасында еркін зарядтар да, өткізгіштік токтар да жоқ кезі үшін қорытылған).
Максвелл теңдеулері – тыныш орталардағы электр және магнит өрістері үшін анағұрлым жалпы теңдеулер болып табылады. Олардың электромагнетизм іліміндегі ролі Ньютон заңдарының механикадағы ролімен пара-пар.
Тербелістер мен толқындар.