9.Тригонометрическая окружность.

Рассмотрим новую математическую модель. Для удобства будем рассматриваться окружность, радиус, которой равен единице. Также окружность называется единичной.

Найдём её длину:

Проведём в окружности два взаимно перпендикулярных диаметра, горизонтальный AB и вертикальный CD. Правый конец горизонтального ряда, будем считать началом. Направление против часовой стрелки, будем считать положительным, по часовой отрицательным. Длина единицы окружности равна 2π.

Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка “A” – правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствии к каждому действительному числу t, точку окружности по следующему правилу:

1) Если t > 0, то двигаясь из точки “A” в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь AM длиной t, точка M и будет искомой точкой M(t) ( M от T читается).

2) Если t < 0, то двигаясь из точки A в направлении по часовой стрелки (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь AM длиной “t”, точка M и будет искомой точкой M(t).

Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности), будем называть числовой окружностью.

Немного философии…

Итак, на числовой окружности, как и на числовой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только на прямой найти легче, чем на окружности). Для числовой прямой верно и обратное: Каждая точка соответствует единственному числу.

Для числовой окружности справедливо следующее утверждение: Если точка M числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует и числу вида:

t + 2πK, где K ∈ z

точка M(t) = M(t + 2πK), K ∈ z

Числовая окружность на координатной плоскости.

Расположим числовую окружность в прямоугольной системе координат, таким образом, чтобы центр окружности совпадал с началом системы координат, а её радиус принимался за единичный отрезок.

Синус, косинус, тангенс, котангенс.

Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсцисса точки М называют косинусом числа t, а ординату точки М, называют синусом точки t.

Если M(t) = M(x; y), то x = cos t y = sin t

Отношение синуса числа t к косинусу того же числа, называют тангенсом числа t. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа, называют котангенсом числа t.

tg t = ; cos t 0

ctg t = ; sin t 0

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

10.Основные формулы тригонометрии.

Основное тригонометрическое тождество:

1)sin α + cos α = 1

sin α = 1 - cos α

sin α =

_cos α =

11. Тригонометрические функции.

Тригонометрические функции углового аргумента.

Из геометрии известно, что sin острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а cos острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Понятие sin, cos, tg и ctg, рассмотренные ранее мы изучили иначе. На самом деле всё взаимосвязано.

Возьмём угл с градусной мерой α и расположим его в модели “числовая окружность на координатной плоскости” следующим образом: вершины угла совместим с центром окружности, одну из сторон угла совместим с положительным лучом оси абсцисс, точку пересечения второй стороны угла с окружностью обозначим буквой M, ординату точки M, естественно считать cos ∠a .

Для нахождения sin и cos ∠a не обязательно каждый раз проводить подобные построения, достаточно заметить, что дуга AM, составляет такую же часть всей окружности, которую ∠a составляет по отношению к ∠360

AM = t

= , t =

Говорят, что 30 - это градусная мера угла, - это радианная мера угла, α =

1 = радиант

1 радиант =

Говоря о функции: s = sin t (или о любой тригонометрической функции), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было ранее, а можем считать её мерой угла, то есть угловым аргументом.