2.6. Теоретико-игровой метод выбора решения

Игрок A имеет m стратегий А₁, А₂, …, A_m), а игрок B (противник) –n стратегий B_1, B_2, …, B_m. Такая игра называется игрой размерности m х n. Пусть игрок A выбрал одну из своих возможных стратегий A_i. Игрок B, не зная результата выбора игрока A, выбрал стратегию B_j. Для каждой пары стратегий (A_i, B_j) определен платеж a_ij второго игрока первому, т.е. выигрыш игрока A. Выигрышем игрока B будет соответственно (– a_ij). Такая игра называется матричной; матрица, составленная из чисел a_ij , называется платежной. Строки этой матрицы соответствуют стратегиям игрока A, а столбцы – стратегиям игрока B. Платежная матрица имеет вид

23

B A	B1	B2	…	Bj	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1j	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2j	…	a2n
			…		…
Ai	ai1	ai2	…	aij	…	ain
…	…	…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amj	…	amn

Каждая сторона стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых действиях противника. В соответствии с этим оптимальная стратегия А соответствует максиминному правилу (максиминная стратегия) [4]

                              V_A = max min h_ij                                           (2.11)

                                         _{Xi    Yj}

Правило выбора (2.11) означает, что А стремится выбрать строку матрицы платежей H с самым высоким из  максимально возможных платежей. Эта стратегия обеспечит ему наибольший из возможных выигрышей вне зависимости от стратегий В. В данной симметричной ситуации сторона В должна стремиться выбрать стратегию Уj для обеспечения себе наибольшей стороны выигрыша (или, что эквивалентно, наименьшей величины проигрыша) вне зависимоcти от действий противника. Этот выбор соответствует минимаксному правилу (минимаксная стратегия В)

V_B = min max h_ij .                                      (2.12)

                                              _{Yj    Xi}

Руководствуясь этими правилами, сторона А может рассчитывать

24

получить выигрыш v, не меньше (2.11), а В – проигрыш, не больше (2.12), т.е.

V_A = max min h_ij ≤ v ≤ min max h_ij = V_B .   (2.13)

                                          _{Xi      Yj                 Yj      Xi}

Возможен случай, когда V_A = v = V_B. Такая ситуация называется игрой в чистых стратегиях, когда стороны А и В получают свои гарантированные выигрыши: если v > 0, выигрывает А, в противном случае выигрывает В.

Пример: игровая задача конкурентной ценовой борьбы в диаполии, когда рынок делят поровну производители А и В одинаковой продукции, поставляя её по одинаковым ценам. Рассматриваются два варианта стратегии строн: α- сохранять статус кво, λ- снизить цену на продукцию на 15%. Ожидаемый преимущества второго варианта: увеличение объёма продаж (в том числе –

за счет отвлечения на свою сторону части покупателей от другого производителя). снижение затрат на приобретение сырья за счёт увеличения объёма поставок.

Решение: в перспективе оптимальна стратегия α, но первым применивший стратегию λ некоторое время получает дополнительный доход.

Кстати именно такую ситуацию мы наблюдаем в противоборстве трёх ведущих российских операторов мобильной связи – каждый стремится

первым сделать более привлекательными свои тарифы.