2.3.2. Функция распределения

Для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для дискретной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует распределение вероятностей, хотя и не в таком смысле, как для дискретной.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно пользоваться не вероятностью события , а вероятностью события , где – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , есть некоторая функция от . Эта функция называется функцией распределения случайной величины и обозначается :

. (2.17)

Функцию распределения иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при , .

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, т.е. .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице, т.е. .

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки.

Зная ряд распределения дискретной случайной величины, легко построить ее функцию распределения. Действительно,

,

где неравенство под знаком суммы, указывает, что суммирование распространяется на все те значения , которые меньше .

Функция распределения любой дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений (рис. 2.5 а). Сумма всех скачков функции равна единице.

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше; ступенчатая кривая становится более плавной (рис. 2.5 б). Случайная величина постепенно приближается к непрерывной, а ее функция распределения – к непрерывной функции (рис. 2.5 в).

Рисунок 2.5 – Функции распределения случайных величин

2.3.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок

На практике часто оказывается необходимым вычислять вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например от до . Это событие будем называть попаданием случайной величины на участок от до .

Условимся для определенности левый конец включать в участок , а правый - не включать. Тогда попадание случайной величины на участок равносильно выполнению неравенства:

Выразим вероятность этого события через функцию распределения величины . Для этого рассмотрим три события:

событие , состоящее в том, что ;

событие , состоящее в том, что ;

событие , состоящее в том, что .

Учитывая, что , по теореме сложения вероятностей имеем:

или

откуда

, (2.18)

т.е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке.

Будем неограниченно уменьшать участок , полагая, что . В пределе вместо вероятности попадания на участок получим вероятность того, что величина примет отдельно взятое значение :

. (2.19)

Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция в точке или же терпит разрыв. Если в точке функция имеет разрыв, то предел (2.18) равен значению скачка функции в точке . Если же функция в точке непрерывна, то этот предел равен нулю. Отсюда можно сформулировать следующее положение:

Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Другими словами, при непрерывном распределении вероятностей вероятность попадания на сколь угодно малый участок может быть отлична от нуля, тогда как вероятность попадания в строго определенную точку в точности равна нулю.

Из того, что событие имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться, т.е. что частота этого события равна нулю. Известно, что частота события при большом числе опытов не равна, а только приближается к вероятности. Из того, что вероятность события равна нулю, следует только, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко.