2.2.4. Формула полной вероятности

Формула полной вероятности является следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий:

,

образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

Так как гипотезы образуют полную группу, то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

.

Так как гипотезы несовместны, то и комбинации также несовместны. Применяя к ним теорему сложения вероятностей, получаем:

.

Применяя к событию теорему умножения, получим:

или

. (2.14)

Полученная формула (2.14) и есть формула полной вероятности.

2.2.5. Теорема гипотез (формула Бейеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез или формула Бейеса.

Поставим задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны, соответственно, . Произведен опыт, в результате которого имело место событие . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Речь идет о том, чтобы найти условную вероятность для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

,

где =1, 2,…, .

Из последнего уравнения, отбрасывая левую часть, находим:

.

Выражая с помощью формулы полной вероятности (2.14), имеем:

. (2.15)

Формула (2.15) и носит название формулы Бейеса или теоремы гипотез.

2.3. Случайные величины и законы их распределения

2.3.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения

Ранее уже было введено важное понятие случайной величины. Ниже приводится дальнейшее развитие этого понятия и указываются способы, с помощью которых случайные величины могут быть описаны и характеризованы.

Условимся случайные величины обозначат большими буквами и т.д., а их возможные значения – соответствующими малыми буквами и т.д.

Рассмотрим дискретную случайную величину с возможными значениями . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина может принять каждое из них с некоторой вероятностью.

В результате опыта величина примет одно из этих значений полной группы несовместных событий:

(2.16)

Обозначим вероятности этих событий буквами с соответствующими индексами:

, ,…, .

Так как несовместные события (2.16) образуют полную группу, то:

.

т.е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий (2.16). Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Простейшей формой задания закона распределения является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

			…
			…

Такую таблицу принято называть рядам распределения случайной величины . Для придания ряду распределения более наглядного вида часто прибегают к его графическому изображению. По оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольникам распределения (рис. 2.4). Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одной из форм закона распределения.

Рисунок 2.4 – Многоугольник распределения