2.2.2. Теорема сложения вероятностей
Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
. (2.2)
Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые для наглядности изобразим в виде точек:
Предположим,
что из этих случаев
благоприятны событию
,
а
–
событию
.
Тогда:
; 
.
Так как события и несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны и и вместе. Следовательно, событию + благоприятны + случаев и
.
Подставляя полученные выражения в формулу (2.2), получим тождество. Теорема доказана.
Обобщим
теорему сложения на случай трех событий.
Обозначая событие
+
буквой
и присоединяя к сумме еще одно событие
,
легко доказать, что:
Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий :
.
Она в общем виде записывается в виде:
. (2.3)
Следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.
Следствие
1. Если
события
образуют
полную группу несовместных событий, то
сумма их вероятностей равна единице:
.
Перед тем, как записать второе следствие теоремы сложения, определим понятие о противоположных событиях.
Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.
Событие,
противоположное событию
,
принято обозначать
.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
.
Это
следствие есть частный случай следствия
1. Оно выделено особо ввиду его большой
важности в практическом применении
теории вероятностей. На практике часто
оказывается легче вычислить вероятность
противоположного события, чем вероятность
прямого события
.
В этих случаях вычисляют
и находят
.
Как указывалось выше, теорема сложения вероятностей (формула (2.2)) справедлива только для несовместных событий. В случае, когда события и совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой:
. (2.4)
В справедливости этой формулы можно убедиться, рассматривая рис. 2.2.
Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле:
Справедливость этой формулы также наглядно следует из геометрической интерпретации (рис. 2.3).
Рисунок 1.3 – Сумма трех совместных событий
Методом полной индукции доказывается общая формула для вероятности суммы любого числа совместных событий:
(2.5)
где
суммы распространяются на различные
сочетания значения индексов
и т.д.
Формула (2.5) выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д.
Аналогичные формулы можно написать для произведения событий. Действительно, из рис. 2.2 ясно, что:
. (2.6)
Из рис. 2.3 также видно, что:
. (2.7)
Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д., имеет вид:
(2.8)
Формулы (2.5) и (2.8) находят практическое применение при преобразовании различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости от конкретной задачи иногда бывает удобней пользоваться только суммами, а иногда только произведениями событий. Для преобразования одних в другие и служат приведенные формулы.