2.1.4. Случайная величина

Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются дискретными случайными величинами.

Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

Если классическая теория вероятностей оперировала по преимуществу с событиями, то современная теория вероятностей предпочитает оперировать со случайными величинами. Случайная величина в отличие от случайного события несет более полную информацию о явлении.

2.1.5. Практически невозможные и практически достоверные события

На практике обычно приходится иметь дело не с невозможными и достоверными событиями, а с так называемыми практически невозможными и практическими достоверными событиями.

Практически невозможным событием называется событие, вероятность которого не в точности равна нулю, но весьма близка к нулю.

Практически достоверным событием называется событие, вероятность которого не в точности равна единице, но весьма близка к единице.

Вопрос о том, насколько мала должна быть вероятность события, чтобы его можно было считать практически невозможным, выходит за рамки математической теории и в каждом определенном случае решается из практических соображений в соответствии с той важностью, которую имеет для нас желаемый результат опыта.

2.2. Основные теоремы

2.2.1. Назначение основных теорем

На практике обычно требуется определять вероятности событий, непосредственное экспериментальное воспроизведение которых затруднено. Такая оценка производится для того, чтобы выявить наиболее рациональные конструктивные параметры элементов проектируемой, перспективной техники.

Поэтому, как правило, для определения вероятностей событий применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, связанных с ними. Теория вероятностей, в основном, и представляет собой систему таких косвенных методов, пользование которыми позволяет свести необходимый эксперимент к минимуму.

Применяя эти косвенные методы, мы всегда в той или иной форме пользуемся основными теоремами теории вероятностей. Этих теорем две: теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей.

Перед тем как формулировать основные теоремы, введем вспомогательные понятия о сумме событий и произведении событий.

Суммой двух событий и называется событие , состоящее в выполнении события или события , или обоих вместе.

Если события и несовместны, то появление обоих этих событий вместе отпадает, и сумма событий и сводится к появлению или события , или события .

Другими словами, суммой двух событий и называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий и .

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном выполнении события и события .

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

При пользовании понятиями суммы и произведения событий часто оказывается полезной наглядная геометрическая интерпретация этих понятий, которая приведена на рис. 2.1.

Рисунок 2.1 – Сумма двух событий (а); произведение двух событий (б)