2.3.5. Числовые характеристики случайных величин

Каждый закон распределения, указанный выше, представляет собой некоторую функцию, и указание этой функции полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения. Но такую функцию на практике не всегда легко получить (необходимо произвести большое число опытов, произвести обработку данных и т.д.).

Во многих вопросах практики нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, исчерпывающим образом. Достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, в некоторой степени характеризующие существенные черты распределения случайной величины. Такие характеристики, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.

С помощью числовых характеристик существенно облегчается решение многих вероятностных задач. Часто удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками.

В теории вероятностей и математической статистике применяется большое количество различных числовых характеристик, имеющих различное назначение и области применения. Ниже рассмотрим только некоторые из них, наиболее часто применяемые.

2.3.6. Характеристики положения

Прежде всего отметим те характеристики, которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются всевозможные значения случайной величины.

Среднее значение случайной величины есть некоторое число, являющееся как бы ее представителем и заменяющее ее при ориентировочных расчетах. Когда мы говорим: средняя нагрузка шинопровода равна 200 А, то этим указываем определенную числовую характеристику случайной величины, описывающую ее местоположение на числовой оси, т.е. характеристику положения.

Из характеристик положения важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое часто называют просто средним значением случайной величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину , имеющую возможные значения , , ,…, , с вероятностями , , ,…, . Требуется охарактеризовать, каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели воспользуемся так называемым средним взвешенным из значений причем каждое значение при осреднении должно учитываться с весом, пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, мы вычислим среднее значение случайной величины , которое обозначим :

,

или, учитывая, что ,

. (2.24)

Эго среднее взвешенное значение и называется математическим ожиданием случайной величины. Другими словами, математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведший всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Математическое ожидание случайной величины связано своеобразной зависимостью со средним арифметическим статистических значений случайной величины при большом числе опытов. Эта зависимость такого же типа, как зависимость между частотой и вероятностью, а именно: при большом числе опытов среднее арифметическое статистических значений случайной величины приближается (сходится по вероятности) к ее математическому ожиданию.

Формула (2.24) для математического ожидания соответствует случаю дискретной случайной величины. Для непрерывной величины математическое ожидание, естественно, выражается уже не суммой, а интегралом:

, (2.25)

где – плотность распределения величины .

Формула (2.25) получается из формулы (2.24), если в ней заменить отдельные значения непрерывно изменяющимся параметром , соответствующие вероятности , – элементом вероятности , конечную сумму – интегралом.

Часто величина входит в формулы как определенное число и ее удобнее обозначать одной буквой. В этих случаях будем обозначать математическое ожидание величины через :

.

Эти обозначения для математического ожидания будут применяться параллельно в зависимости от удобства написания формул.

Отметим ряд теорем о математическом ожидании функций, представляющих практические формулы вычисления этой характеристики.

Математическое ожидание неслучайной величины

Если – неслучайная величина, то:

.

Вынесение неслучайной величины за знак математического ожидания

Если – неслучайная величина, а – случайная, то

т.е. неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания.

Математическое ожидание суммы случайных величин:

.

т.е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Математическое ожидание произведения случайных величин:

.

т.е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Математическое ожидание функции случайной величины:

;

,

соответственно для дискретной и непрерывной величин.

Кроме важнейшей из характеристик положения – математического ожидания, – иногда применяются и другие характеристики положения, в частности мода и медиана случайной величины.

Модой дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, а для непрерывной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности максимальна (рис. 1.10). Моду принято обозначать буквой .

Рисунок 2.10 – Мода дискретной (кривая 1) и мода непрерывной (кривая 2) случайных величин

Если многоугольник распределения или кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным (рис. 2.11).

Рисунок 2.11 – Полимодальные распределения

Встречаются распределения, обладающие посередине не максимумом, а минимумом (рис. 2.12). Такие распределения называются ангимодальными.

Рисунок 2.12 – Антимодальные распределения

Медианой случайной величины называется такое ее значение , для которого , т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Геометрически медиана – это точка абсциссы, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (рис. 2.13).

Рисунок 2.13 – Медиана случайной величины