2.3.4. Плотность распределения
Пусть
имеется непрерывная случайная величина
с функцией распределения
(рис. 2.6), которую предположим непрерывной
и дифференцируемой.
Рисунок 2.6 – Функция распределения
Вычислим
вероятность попадания этой случайной
величины на участок от
до
:
.
т.е. приращение функции распределения на этом участке.
Рассмотрим
отношение этой вероятности к длине
участка, т.е. среднюю
вероятность,
приходящуюся на единицу длины на этом
участке, и будем приближать
к нулю. В пределе получим производную
от функции распределения:
. (2.20)
Обозначим
. (2.21)
Функция
– производная функции распределения
F\x) по своему смыслу характеризует как
бы плотность, с которой распределяются
значения случайной величины в данной
точке.
Эта функция называется плотностью
распределения
или по другому – плотностью
вероятности
непрерывной случайной величины
.
Иногда функцию
называют также дифференциальной
функцией распределения
или дифференциальным
законом распределения
величины
.
Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 2.7).
Рисунок 2.7 – Кривая распределения
Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. Но в отличие от функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.
Рассмотрим
непрерывную случайную величину
с плотностью распределения
и элементарный участок
,
примыкающий к точке
(рис. 2.8).
Рисунок 2.8 – Непрерывная случайная величина с плотностью распределения на участке
Вероятность
попадания случайной величины
на этот элементарный участок (с точностью
до бесконечно малых высшего порядка)
равна
.
Величина
называется элементом
вероятности.
Геометрически это есть площадь
элементарного прямоугольника,
опирающегося на отрезок
(рис. 2.8).
Выразим вероятность попадания величины на отрезок от до (рис. 2.9) через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу:
. (2.22)
Рисунок 2.9 – Вероятность попадания случайной величины на отрезок от до
Так
как вероятность любого отдельного
значения непрерывной случайной величины
равна нулю, то в формуле (2.22) можно
рассматривать отрезок
,
не включая в него левый конец, т.е.
отбрасывая знак равенства в
.
Геометрически вероятность попадания величины на участок равна площади, ограниченной кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис. 2.9).
Выразим
функцию распределения через плотность.
По определению
откуда по формуле (2.22) имеем:
. (2.23)
Геометрически
есть не что иное, как площадь, образованная
кривой распределения и осью
,
лежащая левее точки
.
Площадь же всей фигуры равна 1. Поэтому,
если функция
сложная и интеграл взять трудно, то для
практических целей площадь, или что то
же самое, вероятность попадания случайной
величины на какой-либо участок можно
определить графически.
Формулы (2.21) и (2.23) устанавливают связь между дифференциальной и интегральной функциями распределения.
Уточним размерности основных характеристик случайной величины – функции распределения и плотности распределения. Функция распределения , как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения , как видно из формулы (2.20), обратна размерности случайной величины.
Таким образом, законами распределения полностью, исчерпывающим образом описывающих случайную величину с вероятностной точки зрения, являются:
для дискретной случайной величины:
- функция распределения;
- ряд распределения;
- многоугольник распределения;
для непрерывной величины:
- функция распределения;
- плотность распределения;
- кривая распределения.