МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ КОЛЕДЖ КОМП’ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ ТА ЕКОНОМІКИ НАУ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

З ПРЕДМЕТУ

«СИГНАЛИ І ПРОЦЕСИ В РАДІОТЕХНІЦІ»

2 ЧАСТИНА

Спеціальність 5.050901.01 «Конструювання, виробництво та технічне обслуговування РТ пристроїв»

Розробив викладач

Н.І Комащенко

2016

ЗМІСТ

Радіотехнічні сигнали…………………………………………………………….1

Спектри сигналів………………………………………………………………….3

Аналіз амплітудно-модульованих сигналів…………………………………….5

Аналіз частотно-модульованих коливань………………………………………7

Послідовний коливальний контур. Перехідні процеси..……….……………..11

Послідовний коливальний контур. Резонанс напруг………………………….13

Послідовний коливальний контур. АЧХ. Резонансна крива струму…………15

Паралельний коливальний контур. Перехідні процеси.……… ……….. .…19

Резонанс в параллельному контурі……………………………………………...20

АЧХ параллельного контура. Розширення смуги пропускання……………...22

Контури з неповним включенням………………………………………………...23

Зв’язані контури…………………………………………………………………..25

Реактивні фільтри типу «k»……………………………………………………….30

Класифікація електричних фільтрів……………………………………………..32

Реактивні фільтри нижніх частот типу «k»…………………………..…………..32

Реактивні фільтри верхніх частот типу «k»…………………………………….33

Фільтри зосередженої селективності…………………………………………….34

ФЗС на зв’язаних контурах………………………………………………………34

П’єзоелектричні ФЗС……………………………………………………………..34

Магнітострикційні(електромеханічні) ФЗС…………………………………….36

Симетричний вібратор…………………………………………………………...37

Магнітна антена……………………………………………………………………39

Антени типу «хвильовий канал»………………………………………………...42

Основні параметри антен………………………………………………………...44

РАДІОТЕХНІЧНІ СИГНАЛИ.

КЛАСИФІКАЦІЯ, ХАРАКТЕРИСТИКИ.

Будь-яке електричне коливання можна розглядати як змінну в часі електричну величину (напругу, струм).

Можливі регулярні (детерміновані) і нерегулярні (випадкові) коливання.

Детермінованим називається коливання, яке може бути описане з допомогою функції часу, тобто математичним виразом, по якому для будь-якого заданого моменту часу можна вирахувати значення електричного сигналу. Випадковим називається коливання, миттєве значення якого не може бути завчасно точно визначене.

Детерміновані коливання ніякої інформації , крім факту наявності самого коливання, не несуть. Передають по лінії зв’язку лише ті коливання, які завчасно точно не визначені на приймальному кінці лінії. Для отримувача повідомлень вони випадкові і несуть певну інформацію.

Випадкові коливання описуються з допомогою теорії ймовірностей. Для спрощення розрахунків рівняння випадкових коливань записують наближено – як суму багатьох детермінованих коливань. Тому надалі сигналом будуть називатись не тільки випадкові, але й детерміновані коливання, хоч це й неточно.

Детерміновані сигнали діляться на періодичні (рис.1.1 а,б,в,г,д,з) і неперіодичні (рис.1.1 е,ж).

Періодичні повторюються через певний проміжок часу, що називається періодом. Частота повторення

f = 1/ Т. (1)

На рисунку 1.1 а зображений періодичний сигнал синусоїдальної форми; на рисунку 1.1 б – періодичний безперервний сигнал несинусоїдальної форми; на рис.1.1.в - періодичний безперервний сигнал прямокутної форми; на рис.1.1 г,д – періодична послідовність імпульсів; на рис.1.1.е – одиничний імпульс, як частковий випадок неперіодичного сигналу; на рис.1.1 ж – випадковий сигнал; на рис.1.1 з – радіосигнал, отриманий за допомогою амплітудної модуляції.

Синусоїдальний сигнал визначається амплітудою U_m, тобто максимальним відхиленням від нульового значення, періодом Т і початковою фазою ψ. Частота f визначається формулою 1, кутова частота

ω = 2π f. (2)

Миттєве значення синусоїдального сигналу

u = U_msin(ωt + ψ), (3)

де φ=(ωt + ψ) – фаза коливання.

Сигнал можна розглядати як функцію часу u(t) або частоти u(ω). Відповідно розрізняють два методи вивчення сигналів: часовий і частотний (спектральний). Спектральний від слова «спектр», що означає сукупність гармонічних коливань. Формула 3 задає монохроматичний сигнал (з одним значенням частоти ω) .

Періодичний сигнал випадкової форми розкладається в ряд Фур’є, тобто на безкінечно велику кількість гармонічних складових.

u(t) = U₀+ u₁(t) + u₂(t) + ….. = U₀ + U₁sin(ω₁t + ψ₁) + U₂sin(ω₂t + ψ₂) +…

1

2

Або ∞

u(t) = U₀ + ∑ U_mn sin(ω_nt + ψ_n), (4)

n=1

де U₀ – постійна складова (нульова гармоніка), рівна середньому значенню сигналу за період;

u₁(t), u₂(t) … - перша , друга і т.д. гармоніки, що мають свою амплітуду U_m, частоту ω_n і початкову фазу ψ_n.

Частоти гармонік

ω₂t = 2ωt;

ω₃t = 3ωt і т.д.

Тобто частоти гармонік кратні основній частоті.

Спектри сигналів

Сукупність амплітуд сигналу U_mn називається спектром амплітуд сигналу. Сукупність початкових фаз ψ_n називається спектром фаз сигналу. Спектри можна представити графічно, відкладаючи на осі абсцис значення кутової частоти ω, а на осі ординат значення амплітуд U_mn гармонік або їх початкових фаз ψ_n .

Ці діаграми називають відповідно амплітудно – частотним і фазо – частотним спектром (АЧС і ФЧС).

Спектр одного гармонічного коливання, визначеного на всій довжині осі часу t = [ - ∞; ∞), завжди має одну спектральну лінію (як АЧС так і ФЧС).

Спектр періодичних сигналів лінійчастий (дискретний) з проміжками між лініями в частоту ω.

Спектри несинусоїдальних сигналів мають велику кількість спектральних ліній.

Якщо перетворити формулу 4 по формулі тригонометрії, то можна виключити початкову фазу і ряд Фур’є матиме вигляд

u(t) = U₀ + ∑ U¹_mn sin(ω_nt) + ∑ U¹¹_mn cos(ω_nt) (5)

Зявились косинусна і синусна складові. Це зручно для аналізу парних і непарних функцій. Синус – непарна функція, косинус – парна.

Парні функції в ряді Фур’є мають тільки косинусну складову, а непарні – тільки синусну. Інші сигнали мають обидві складові.

3

4

АНАЛІЗ

АМПЛІТУДНО - МОДУЛЬОВАНИХ СИГНАЛІВ

При тональній модуляції керуюча напруга U_у змінюється відносно середнього значення U₀ по гармонічному закону з деякою частотою Ω. В початковий момент часу t=0 напруга U_у проходить через максимум (функція косинус). Часова і спектральна діаграми керуючого сигналу зображені на рисунку 1.4.

Миттєве значення керуючого сигналу

u_у(t) = U₀ + U_уm cosΩt , (1)

де U₀ – постійна складова керуючого сигналу;

U_уm - амплітуда змінної складової керуючого сигналу.

Часова і спектральна діаграми радіосигналу при амплітудній модуляції гармонічним сигналом u_у(t) зображені на рисунку 1.4.

В процесі амплітудної модуляції повинна бути пряма пропорційність між приростом амплітуди ΔU_m напруги радіосигналу і миттєвим значенням керуючої напруги u_у , тому амплітуда АМ сигналу змінюється по закону

U_m = U_0m + ΔU_m cosΩt , (2)

де ΔU_m – максимальний приріст амплітуди радіосигналу відносно його початкового значення U_0m.

Миттєве значення напруги радіосигналу отримуєм множенням амплітудного значення U_m (формула 2) на гармонічний несучий сигнал sin(ω₀t)

u(t) =U_m sin(ω₀t) = ( U_0m + ΔU_m cosΩt )sin(ω₀t) (3)

Після перетворень по формулам тригонометрії

u(t) = U_0m sin(ω₀t) + 0,5ΔU_m sin(ω₀ + Ω)t + 0,5ΔU_m sin(ω₀ - Ω)t. (4)

Через період модуляції Т фази несучої напруги u(t) і керуючого сигналу можуть не співпадати. Тобто, АМ сигнал не тільки не синусоїдальний, але й в загальному випадку – неперіодичний.

5

Про глибину амплітудної модуляції судять по коефіцієнту модуляції m.

m = ΔU_m / U_0m. (5)

Коефіцієнт модуляції m показує, яку частину від амплітуди напруги несучої частоти U_0m складає приріст амплітуди модульованої напруги ΔU_m.

При відсутності модуляції ΔU_m = 0 і отже m = 0, при ΔU_m = U_0m m = 1.

Якщо m > 1 , то ΔU_m > U_0m і це явище називають перемодуляцією.

Формула АМ сигналу з врахуванням формули 5 має вигляд

u(t) = U_0m sin(ω₀t) + mU_om sin(ω₀ + Ω)t + mU_om sin(ω₀ - Ω)t. (4)

2 2

З цього рівняння випливає, що при модуляції синусоїдальних коливань несучої частоти ω₀ по амплітуді гармонічним керуючим сигналом частотою Ω отримаємо несинусоїдальне коливання, що складається з трьох синусоїдальних: коливання несучої частоти ω₀ з амплітудою U_0m ; коливання верхньої бокової частоти ω₀ + Ω з амплітудою 0,5 mU_om і коливання нижньої бокової частоти ω₀ - Ω з амплітудою 0,5 mU_om .

На АЧС ми бачимо дві бокові частоти. В АМ коливаннях немає складової низької частоти, тільки три високі : ω₀ , ω₀ + Ω , ω₀ - Ω (рисунок 1.5).

6

АНАЛІЗ ЧАСТОТНО-МОДУЛЬОВАНИХ СИГНАЛІВ

При амплітудній модуляції амплітуда залежить, а фаза не залежить від керуючого сигналу. Якщо ж амплітуда постійна U_m(t) =U_m, а фаза змінюється з часом відповідно зміні керуючого сигналу (повідомлення), то модуляція називається кутовою. Вона ділиться на фазову (ФМ) і частотну (ЧМ). Фазовою називається модуляція, при якій приріст фазового кута Δ(ω₀t + ψ) пропорційний приросту керуючого сигналу ΔU_у (рисунок 1). Частотною називається модуляція , при якій приріст керуючого сигналу ΔU_у приводить до приросту частоти Δω радіосигналу.

Якщо керуючий сигнал гармонічний, то суттєвої різниці між ФМ і ЧМ немає. У випадку складного керуючого сигналу відмінність між ЧМ і ФМ значна.

Нехай до модуляції сигнал мав середню несучу частоту ω₀. В процесі модуляції частота сигналу отримала приріст Δω=ω - ω₀, пропорційний приросту керуючої напруги Δu_у = u_у – U₀.

Максимальний приріст частоти відносно початкового значення називається девіацією частоти Δω_m.

Між девіацією Δω_m і амплітудою U_уm повинна бути пряма пропорційність, тоді буде неспотворений ЧМ сигнал.

В точці О₁ миттєві значення керуючої напруги і частоти виражені рівняннями

u_у(t) = U₀ + U_уm cosΩt , (1)

ω(t) = ω₀ + Δω_m cosΩt . (2)

Фазовий кут і частота зв’язані рівнянням

t

φ(t) =∫ ω(t) dt . (3)

0

Підставивши другу формулу в третю після інтегрування отримаємо

φ(t) = ω₀t + Δω_m sin Ωt. (4)

Ω

Величина Δω_{m =} М називається індексом частотної модуляції.

Ω

Миттєве значення ЧМ сигналу

u(t) = U_m (t) sinφ(t) = U_m sin(ω₀t + MsinΩt). (5)

Сигнал ЧМ несинусоїдальний.

Число гармонік залежить від М. При малій девіації М« 1 спектр ЧМ сигналу має одну пару бокових частот. При М»1 ширина спектру ЧМ сигналу приблизно рівна подвоєній девіації частоти Δω_сп ≈ 2 Δω_m.

Зазвичай в радіо девіація рівна 75 кГц і відповідно ширина спектра 150 кГц. Число пар бокових частот при М»1 безкінечно велике , але ті з них, номер яких перевищує М – дуже малі по амплітуді, тому ними нехтують.

Наприклад, при М=5 враховують 5пар бокових частот

7

ω₀ – Ω, ω₀+Ω

ω₀ –2 Ω, ω₀+2Ω

ω₀ –3 Ω, ω₀+3Ω

ω₀–4 Ω, ω₀+4Ω

ω₀–5 Ω, ω₀+5Ω

Амплітуди бокових частот зменшуються, віддаляючись від ω₀.

ВІЛЬНІ КОЛИВАННЯ В КОНТУРІ

Замкнуте електричне коло, що складається з котушки індуктивності і конденсатора, називається коливальним контуром (рисунок 1,а). Якщо зарядити конденсатор від зовнішнього джерела енергії, то в контурі будуть відбуватись періодичні зміни струму і напруги (електричні коливання). В ідеальному контурі (без втрат на тепло) ці коливання безкінечні.

Напруга і струм змінюються по синусоїдальному закону.

i= I_msinω_вкt; (1)

u= U_mcosω_вкt, (2)

де ω_вк – кутова частота вільних коливань.

Енергія електричного поля конденсатора і котушки

W_c= CU²_m , (3)

2

W_L= LI²_m . (4)

2

W_c= W_L= CU²_m= LI²_m. (5)

8

Згідно закону Ома

I_m =U_m/X_L=U_m/X_C=U_m/(ω_вкL)= U_m·(ω_вкC). (6)

Підставивши значення амплітуди струму в формулу 5 отримаємо

CU²_m= LU²_m/ (ω²_вкL²) (7)

Звідки визначаємо

1

ω_вк= (8)

√ LC

Або

1

f_вк= (9)

2π √ LC

Рисунок 1

9

Для контуру на рисунку 1,б

1

f_вк= . (10)

2π √ L1C1С2/(С1+С2)

Для контуру на рисунку 1,в

1

f_вк= . (11)

2π √ (L1+L2)(C1+C2)

З формули 5 знайдемо струм у контурі

I²=CU²_m/L= U²_m/ (L/C). (12)

I= U_m/√(L/C)= U_m/Z_хв . (13)

Хвильовий опір контура

Z_хв =√(L/C). (14)

Фізичний зміст хвильового опору: він рівний реактивному опору котушки чи конденсатора на частоті вільних коливань

Z_хв = X_L=X_{C .} (15)

В реальному контурі є втрати на активний опір елементів, а також на опір матеріалів (дротів, недосконалість діелектрика конденсатора).

Коливання мають той же характер, але не вся енергія електричного поля конденсатора перетворюється в енергію магнітного поля котушки. Частина енергії перетворюється в тепло на активному опорі втрат, тому коливання затухаючі (рисунок 4.7).

Струм визначається за формулою

i(t) = I_m·е^δt·sinω_вкt , (16)

де δ – коефіцієнт затухань коливань.

δ= R_втр/2L. (17)

Величина , обернена коефіцієнту затухань, називається постійною часу контура τ = 1/δ =2L/ R_втр. (18)

Чисельно вона дорівнює часу, на протязі якого амплітуда струму в контурі зменшується в е разів, або на 63% від свого початкового значення. Теоретично процес затухання безкінечно довгий. Умовно вважається, що він закінчився за (3…5) τ.

Кутова частота вільних коливань в реальному контурі залежить і від опору втрат, але в малій мірі, тому вважається, що ця частота приблизно рівна частоті вільних коливань в ідеальному контурі.

Умова виникнення вільних коливань в контурі

R_втр ‹ 2√(L/C)= 2 Z_хв (19)

Якщо ця умова не виконується, то вся енергія електричного поля повністю перетворюється в тепло і коливання не виникають.

Затухання контура d= R_втр/ Z_хв. (20)

Добротність контура

Q=1/d= Z_хв/ R_втр. (21)

10

Добротність в основному визначається добротністю котушки індуктивності.

ПОСЛІДОВНИЙ КОЛИВАЛЬНИЙ КОНТУР

Перехідні процеси

Найбільш широке застосування в радіотехнічних пристроях мають незатухаючі коливання. Для їх отримання необхідно періодично передавати в контур певну кількість енергії, яка б компенсувала втрати в його активному опорі. З цією метою до контуру підключається джерело енергії – за звичай генератор синусоїдальної електрорушійної сили (ЕРС). Якщо цей генератор і елементи контуру утворюють послідовний електричний ланцюг – контур називають послідовним; якщо генератор і елементи контуру утворюють паралельний електричний ланцюг – контур називають паралельним.

Нехай до послідовного контуру (рисунок 1) в момент часу t=0 підключається ідеальне джерело синусоїдальної ЕРС е=Е_msinωt , частота f якого рівна частоті вільних коливань в контурі. Починаючи з цього моменту , в індуктивності і ємності контуру накопичується енергія, і в колі контуру виникає струм. Амплітуда цього струму збільшується поступово, тому що в колі, що має реактивні елементи, миттєві зміни струму через котушку і напруги на конденсаторі неможливі. Ріст амплітуди струму і накопичення енергії припиняється, коли енергія джерела, що поступає в ланцюг, компенсує втрати в активному опорі контуру.

Рисунок 1

В момент часу t=0 в контурі при підключенні генератора одночасно виникають два коливальні процеси: примусові (вимушені) коливання струму i_в=I_mвsinωt ( рисунок 2, а)) з постійною амплітудою I_mв і частотою, рівною частоті ЕРС, і затухаючі вільні коливання i_з= - I_mз·е^-t/τ·sinωt (рисунок 2 ,б)). Початкові амплітуди цих коливань рівні по величині, а початкові фази протилежні, тому в виразах для i_в та i_з : I_mв = - I_mз . Згідно принципу суперпозиції результуючий струм в контурі i дорівнює алгебраїчній сумі струмів i_в та i_з . Амплітуда струму в контурі (рисунок 2, в)) збільшується по експоненціальному закону , намагаючись досягти значення I_mв .

11

I_mп

I_mз

(3…5)τ

Рисунок 2 : а) примусові коливання струму з частотою , рівною частоті ЕРС; б) затухаючі вільні коливання в контурі; в) результуючий струм в контурі.

Такий процес наростання амплітуди струму називається перехідним. Перехідний процес теоретично триває безкінечно довго , але практично його вважають закінченим за час (3…5) τ, коли амплітуда струму досягне ( 0,95…0,99) I_mв . Тривалість перехідного процесу в контурі, а також амплітуда струму, що встановився, залежать ( при постійному хвильовому опорі Z_хв) від опору втрат. Чим більший опір втрат контуру, тим швидше закінчується перехідний процес. При цьому на елементах контуру з більшим опором втрат запасається менше енергії, ніж на елементах контуру з меншим опором втрат, тобто I_mв1 < I_mв2 – амплітуда струму, що встановився в контурі з більшими втратами, менша амплітуди струму, що встановився в контурі з меншими втратами.

Якщо джерело ЕРС виключити, струм в контурі відразу не припиниться. Завдяки енергії, що накопичилась в котушці і конденсаторі, коливання продовжуються, хоч і мають затухаючий характер. Надалі аналіз послідовного контуру буде проводитись при коливаннях, що вже встановились, а амплітуда струму досягла I_mв . В цьому випадку частота коливань визначається тільки джерелом ЕРС і не залежить від елементів контуру L і C.

12

Послідовний коливальний контур.

Резонанс напруг.

На рисунку 1 контур зображений як чотириполюсник. Чотириполюсником називають пристрій, що має пару 1-1¹ вхідних зажимів, через які енергія від генератора поступає в систему передачі, і другу пару 2 – 2¹ вихідних зажимів, з яких енергія передається далі в схему приймача. Чотириполюсниками є трансформатори, підсилювачі, каскади радіопередавачів і радіоприймачів і ін.

Для послідовного коливального контуру як чотириполюсника комплексний вхідний опір на зажимах 1 – 1¹ визначається

Z_вх = R + iωL – i/ωC= R + i(X_L – X_c) = R_вх + iX_вх.,

де X_вх. – реактивна складова опору;

R_вх – активна складова.

Модуль вхідного опору, що називається повним опором контура

Z_вх =√ R_вх² + iX_вх.²=√ R_вх² + (X_L – X_c )²

Н а рисунку 3 зображені графіки частотних залежностей опорів індуктивності X_L , ємності X_c , активного опору R_вх та повного опору контура Z_вх.

Рисунок 3

З рисунку видно, що на деякій частоті f₀ реактивна складова вхідного опору перетворюється в нуль і повний опір контуру стає мінімальним і має активний характер.

При відхиленні від частоти генератора від f₀ повний опір контура збільшується. Якщо f< f₀ , реактивна складова повного опору має ємнісний характер, якщо f >f₀ - індуктивний.

Визначимо частоту f₀ , скориставшись умовою X_L0 – X_С0 = 0, звідки

X_L0 = X_С0 = ωL = 1/ ωC. Тоді

13

ω²= 1/ LC , ω = 1/ √ LC , або f₀ = 1/(2π √ LC )

Отже, частота f₀ рівна частоті вільних коливань в контурі. Звідси випливає наступне: якщо частота генератора співпадає з частотою вільних коливань в контурі (f₀ = f_вк ) , реактивна складова повного опору перетворюється в нуль, повний опір контура стає мінімальним, активним і рівним опору втрат, внаслідок чого струм на вході ланцюга і ЕРС генератора співпадають по фазі. Таке явище в електричному ланцюзі називають резонансом, а частоту f₀ – резонансною частотою.

Суть енергетичних процесів при резонансі полягає в тому , що сума енергій електричного і магнітного полів W_m=W_mL + W_mC з часом не змінюється. Зменшення енергії магнітного поля супроводжується збільшенням енергії електричного поля і навпаки, тобто відбувається безперервний перехід енергії електричного поля в магнітне і навпаки. Енергія, що поступає в ланцюг від генератора, компенсує втрати в активному опорі контуру, завдяки чому підтримуються незатухаючі коливання.

Амплітуда струму в контурі на будь – якій частоті

I_m=E_m / Z_вх = E_m / √ R_втр² + (ωL – 1 / ωC)²

Амплітуда струму в контурі при резонансі (при Х_вх = 0)

I_m= E_m / R_втр

Опір Z_вх0 = R_втр називається резонансним і позначається Z₀= R₀

Визначимо амплітуди напруг на елементах контуру при резонансі

U_mC0=U_mL0=X_C0 ·I_m0=X_L0 ·I_m0

Оскільки X_C0 = X_L0 =Z_хв

U_mC0=U_mL0= Z_хв ·I_m0 = E_m · Z_хв / R_втр = E_m · Q

Звідки U_mC0/ E_m =U_mL0/ E_m= Q

Вираз показує,що при резонансі в послідовному контурі амплітуди напруг на конденсаторі і котушці рівні між собою і в Q раз більші амплітуди ЕРС генератора. Тому резонанс в послідовному контурі називається резонансом напруг. З формули випливає і фізичний зміст добротності: вона показує , в скільки разів при резонансі амплітуда на кожному з реактивних елементів контура більша ЕРС генератора, під’єднаного до контуру.

До цього часу вважалось , що генератор ЕРС ідеальний, тобто його внутрішній опір R_i=0. Реальний генератор має внутрішній опір , відмінний від нуля, тому у всі формули , що мають R_втр, необхідно ставити R_втр + R_i . Чим більший внутрішній опір генератора, тим менша добротність, менший струм в контурі, менші напруги на реактивних елементах контуру. Отже для збереження хороших резонансних властивостей послідовного контуру необхідно , щоб внутрішній опір генератора, який живить контур, був в декілька разів меншим опору втрат в контурі.

14

Амплітудно – частотні характеристики (АЧХ) послідовного контура.

Резонансна крива струму.

Зміна частоти генератора, що під’єднаний до контура, впливає на повний опір контура, внаслідок чого змінюється струм в ланцюзі. Графік частотної залежності амплітуди струму в контурі , побудований по формулі

I_m=E_m / Z_вх = E_m / √ R_втр² + (ωL – 1 / ωC)² ,

зображений на рисунку 4.

Такий графік називають резонансною кривою струму. З нього видно, що максимальна амплітуда струму в контурі досягається на резонансній частоті. Чим більше відхилення частоти генератора від резонансної ∆f , тим менша амплітуда струму в ланцюзі. Відхилення частоти генератора від резонансної ∆f називається абсолютним розлагодженням контуру і визначається

∆f = f – f_0.

Така форма резонансної кривої показує, що контур має селективні властивості, тобто може «виділяти» струм певної частоти.

Рисунок 4

Рівняння АЧХ і селективності контура.

Вихідною напругою послідовного контура зазвичай служить напруга на конденсаторі. Можна показати, що для невеликих розлагоджень амплітуда цієї напруги визначається по формулі

U_mC = E_m Z_хв / √ R_втр² (1 + а²) ,

де а – узагальнене розлагодження контура.

а = 2Q∆f / f₀,

де ∆f / f₀ – відносне розлагодження.

Модуль коефіцієнта передачі контура визначається по формулі

К = U_mC / E_m = Q / √(1 + а²).

15

На резонансній частоті відхилення частоти генератора від резонансної ∆f = 0, тому модуль резонансного коефіцієнта передачі контура К₀ = Q.

Співвідношення для модуля коефіцієнта передачі контура К називається рівнянням АЧХ послідовного контура.

З рівняння видно, що збільшення опору втрат контура при незмінних інших параметрах приводить до зменшення добротності, а значить і до зменшення модуля коефіцієнта передачі. Крім того, чим більша добротність, тим гостріша АЧХ контура (рисунок 5).

Відносний коефіцієнт передачі контура визначається по формулі

К / К₀ = 1 / √(1 + а²).

Це рівняння називається рівнянням селективності контура. Побудована по ньому АЧХ називається узагальненою або нормованою (рис.6).

Рисунок 5

Рисунок 6

Приведені формули визначення К та К / К₀ використовуються тільки при а < 10, тобто при значенні відносного розлагодження в декілька відсотків від резонансної частоти.

16

Смуга пропускання і коефіцієнт прямокутності.

З допомогою АЧХ визначають важливий параметр контура – смугу пропускання. Смугою пропускання контура називається область частот поблизу резонансної, в межах якої струм, напруга чи модуль коефіцієнта передачі контура зменшується в певне, наперед задане число разів. Частіше всього це число √2.

Тоді смуга пропускання 2∆f= f₀ / Q= df₀.

Смугу пропускання контура легко визначити по графіку АЧХ (рисунок 7). Для цього через точку 1/√2≈0,707 проводиться горизонтальна пряма. По точкам перетину цієї прямої з АЧХ визначаються розлагодження ∆f₁ і -∆f₁. Смуга пропускання визначається як різниця розлагоджень

∆f₁ – ( -∆f₁) = 2 ∆f₁.

Рисунок 7

З допомогою поняття «смуга пропускання контура» можна оцінити частотні спотворення сигналів, що проходять через контур, а також селективні властивості контура. Для прикладу нехай до контуру підключено генератор ЕРС, спектр якої складається з однакових по амплітуді гармонічних складових, розділених однаковими частотними інтервалами (рисунок 8а). З цього спектру треба виділити складові в області частот f₁…f₂, тому смуга пропускання контура повинна бути f₂ – f₁. Огинаюча спектра амплітуд вихідної напруги повторює форму АЧХ контура (рисунок 8б). Порівняння рисунків 8а та 8б приводить до висновку, що в межах f₁…f₂ вхідний і вихідний спектри мають різні співвідношення між амплітудами гармонічних складових. Це свідчить про наявність в ланцюзі частотних спотворень. Крім того, гармонічні складові , частоти яких знаходяться зовні смуги пропускання, подавляються контуром не повністю. Їх амплітуди поступово зменшуються зі збільшенням розлагодження.

Щоб зменшити частотні спотворення, необхідно розширити смугу пропускання (рисунок 8в), але тоді подавлення спектральних складових поза смугою стане менш ефективним, тобто погіршиться селективність контуру. Таким чином, між вимогами, що ставляться до величини частотних спотворень в смузі пропускання і до селективності, є протиріччя, що пояснюється відмінністю форми реальної АЧХ від ідеальної, що має вид прямокутника (рисунок 8г).

17

Для оцінки відмінності форми реальної АЧХ від ідеальної користуються поняттям коефіцієнта прямокутності К_п. Чим більше К_п, тим сильніше відрізняється форма реальної АЧХ від ідеальної. Для ідеальної АЧХ К_п = 1, для АЧХ одиничного контура К_п >> 1. Це одна з причин , по якій одиничні контури в РТ застосовуються досить рідко.

Отже, основним фактором, що впливає на форму АЧХ, є добротність контура: збільшення добротності приводить до зменшення коефіцієнта прямокутності, тобто до підвищення крутизни схилів АЧХ і підвищення селективності контура, а також до зменшення смуги пропускання (рисунок 9).

Рисунок 8

Рисунок 9

18

Паралельний коливальний контур. Перехідні процеси.

Контур живиться від джерела ЕРС з амплітудою Е_m, внутрішній опір якого R_і повинен бути дуже великим, значно більшим нуля, інакше контур буде закороченим (рис.1а).

Рисунок 1

Опори втрат є в обох ланках контура (з індуктивністю і з ємністю), але опір втрат котушки значно більший , тому опір втрат ланки з конденсатором при розрахунках не враховують.

Вхідний опір контура згідно закону Ома

Z_вх = U_mk / I_m1 = (E_m – I_m1·Ri) / I_m1

Комплексний вхідний опір контура (рисунок 1в-еквівалентна схема паралельного контура)

Z_вх = R_вх + iX_вх.,

де R_вх - активна складова вхідного опору,

Х_вх - реактивна складова.

Контур складається з двох ланок – ланки з індуктивністю, комплексний опір якої приймемо за Z1, та ланки з ємністю, комплексний опір якої Z2.

Оскільки котушка і конденсатор підключені паралельно , то

Z_вх = Z1·Z2 / (Z1+Z2),

де Z1 і Z2- опори ланок з індуктивністю та ємністю відповідно.

Z1= R_втр + іωL,

де R_втр- опір втрат в ланці з індуктивністю.

Z2 = − і/ωС.

Оскільки активний опір втрат ланки з індуктивністю набагато більший за активний опір втрат ланки з ємністю, тому враховується тільки активний опір втрат індуктивної ланки.

19

Модуль повного опору контура

Z_вх= √R_вх² + X_вх² = √ R_вх² + (Х_L – X_C)²

На рисунку 2 приведені графіки залежностей вхідних опорів Z_вх, R_вх^, X_вх від узагальненого розлагодження.

Рисунок 2

З графіків видно, що і активний (R_вх) і реактивний (X_вх ) опори контура залежать від частоти генератора, тоді як в послідовному контурі активний опір не залежить від частоти генератора.

Резонанс в паралельному контурі.

Під дією ЕРС генератора в ланках контура проходять струми з амплітудами І_mL та I_mc, що визначаються амплітудою напруги на контурі U_mk і повними опорами його ланок (рисунок 1б). На резонансній частоті Х_со=Х_Lо, тому струми I_mLo≈I_mco. При резонансі в опорі втрат контура виділяється активна потужність

Р_к= I_mLo² · R_втр / 2,

що підводиться від генератора (Р_к = Р_ген)

Р_ген = I_m1o ² R_o / 2 .

Прирівнюючи праві частини формул , отримаємо

I_mLo² · R_втр / 2 = I_m1o ² R_o / 2.

Звідки після спрощення отримуємо

I_mLo² / I_m1o² = R_o / R_втр = Z_хв· Q / R_втр = Q² .

Або

I_mLo / I_m1o = Q.

При резонансі в паралельному контурі амплітуда струму в ланці з індуктивністю (чи ємністю) в Q раз більше амплітуди струму в ланці з ЕРС. Тому резонанс в паралельному контурі називають резонансом струмів . Отже фізичний зміст добротності паралельного контура: вона показує в скільки разів амплітуда струму в ланці з індуктивністю чи ємністю більша амплітуди струму в ланці з ЕРС.

20

Резонансний опір паралельного контура

Z_вх0 = R_o = Z_хв · Q = L / R_втр · C.

Резонансний опір активний і значно більший ніж в послідовному контурі, тому Q >> 1 і Z_хв >> R_втр . Якщо в послідовному контурі R_o одиниці чи десятки Ом , то в паралельному – десятки і сотні тисяч Ом.

Якщо добротність контура досить велика, енергетичні процеси при резонансі струмів можна вважати такими ж, як і при резонансі напруг в послідовному контурі: конденсатор і котушка періодично обмінюються енергіями, а генератор компенсує втрати в активному опорі контура, підтримуючи в ньому незатухаючі коливання. Реактивна енергія, що накопичилась в конденсаторі і котушці , в Q раз більша активної енергії , що поступає від генератора. В паралельному контурі активна і реактивна складові вхідного опору залежать від частоти, тоді як в послідовному від частоти залежить тільки реактивна складова. На частоті резонансу Х_вх=0, вхідний опір рівний активній складовій і максимальний Z_вх=R_вх. Він набагато більший вхідного опору послідовного контура (до сотень тисяч Ом). Реактивна складова вхідного опору рівна нулю при рівності реактивних опорів індуктивності і ємності.

З умови рівності реактивних опорів при резонансі Х_L0 = X_C0= Z_хв

.

Ці вирази співпадають з формулами для послідовного контура.

Добротність контурів з більшим внутрішнім опором генератора більша за добротність контурів з меншим опором і гостріша АЧХ (рис.2).

Rі1< Rі2 Q2> Q1

Рисунок 3

Коефіцієнт передачі паралельного контура

К= U_вих/ E_ген .

На рис.3 показано, що при збільшенні внутрішнього опору генератора Rі , модуль резонансного коефіцієнта передачі К₀ зменшується. Це можна пояснити наступним чином: чим більший внутрішній опір генератора, тим більша амплітуда напруги на ньому і менші амплітуда вихідної напруги на контурі та модуль резонансного коефіцієнта передачі К₀.

21

АЧХ параллельного контура. Розширення смуги пропускання.

Струм в нерозгалуженій частині паралельного контура I_m1 при зміні частоти генератора змінюється протилежно струму в послідовному контурі ( рисунок 4) і визначається

I_m1 = Е_m/(R_i+Z_вх),

де Z_вх – повний опір контуру.

Рисунок 4

Модуль коефіцієнта передачі контура

К= Z_вх· Q_е / R_i √1+а_е² ,

де а_е – еквівалентне узагальнене розлагодження.

а_е = 2Q_е ∆f / f₀.

Еквівалентна добротність

Q_е = Q/(1 + R₀/ R_i),

де Q – власна добротність контура (Z_хв/ R_втр).

З формули визначення Q_е випливає, що збільшення внутрішнього опору генератора R_i наближає еквівалентну добротність до власної, тобто R_i шунтує контур. Для отримання високої добротності контура необхідно живити паралельний контур від генератора, що має велике значення R_i (сотні кОм).

АЧХ паралельного контура.

Рисунок 5

На рисунку 5а перший графік побудовано за умов: R_i1=0, а_е =0, К₀₁=1. Контур заморочений, U_вих=Е_ген. Для другого графіка: R_i2>0, а_е відмінне від нуля, К₀₁ > К₀₂. Для третього графіка : R_i3>0, R_i3> R_i2, К₀₂ > К₀₃.Отже збільшення внутрішнього опору генератора приводить до збільшення добротності, зменшення смуги пропускання, гострішає АЧХ (рис.5б), але зменшується модуль коефіцієнта передачі.

22

Контури з неповним включенням.

В багатьох РТ пристроях застосовуються паралельні контури, що мають в одній з ланок і ємність, і індуктивність. Різновиди таких схем приведені на рисунку 6.

Рисунок 6

Схему на рисунку 6а часто називають паралельним контуром другого виду, схему на рисунку 6б – паралельним контуром третього виду, на рисунку 6в – схема з подвійним неповним включенням. Звичайний паралельний контур (рис.1) по аналогії називають контуром першого виду.

Порівняння властивостей контурів першого – третього видів показує, що при однакових значеннях їх повної індуктивності, ємності і опору втрат резонансний опір контурів другого і третього видів менше, ніж у контура першого виду. Так резонансний опір схеми другого виду (рис.6а)

R₀₂ = p_L²· R₀₁,

де p_L = L₁/(L₁+L₂) - коефіцієнт включення індуктивності;

R₀₁ = L/R_втр· C – резонансний опір контуру першого виду.

Резонансний опір контуру третього виду

R₀₃ = p_С²· R₀₁,

де p_С = С₂/(С₁+С₂) - коефіцієнт включення ємності.

Формули справедливі при умові, що

L₁+L₂ = L,

С₁·С₂/(С₁+С₂ )= С ,

де L і C – індуктивність і ємність контуру першого виду.

Коефіцієнти включення p_L і p_С менше одиниці, тому прийнято вважати, що такі контури мають неповне включення ( якщо p_L = p_С = 1, отримуємо контур першого виду, що має повне включення).

Резонансний опір контурів другого та третього видів можна необмежено зменшувати в порівнянні з R₀₁ відповідним регулюванням коефіцієнтів включень p_L і p_С . В контурах другого виду таке регулювання здійснюється досить просто, наприклад перемиканням відводів від обмотки котушки чи з допомогою контакту, що ковзає по її виткам.

23

В контурах третього виду коефіцієнт включення регулюється зміною співвідношення між ємностями С₁ і С₂. Такий спосіб менш зручний, оскільки для збереження постійності резонансної частоти необхідно так підбирати ємності конденсаторів, щоб загальна ємність була незмінною.

Контури другого та третього видів застосовуються для ослаблення шунтуючої дії на контур внутрішнього опору генератора або опору навантаження, що приводить до розширення смуги пропускання. Підбором коефіцієнтів включення можна добитися такого значення еквівалентної добротності, при якому смуга пропускання контуру не буде перевищувати деякого, наперед визначеного значення.

Схеми паралельних контурів з подвійним неповним включенням (рис.6в) застосовують , коли необхідно ослабити шунтуючий вплив на контур декількох опорів, наприклад внутрішнього опору генератора і опору навантаження.

Коливальні контури другого та третього видів застосовують також для узгодження з генератором чи навантаженням – режиму, коли від генератора в контур чи від контура в навантаження передається максимальна активна потужність. Це забезпечується при рівності внутрішнього опору генератора і опору навантаження : R₀ = R_і або R₀ = R_н . В результаті узгодження добротність контура зменшується вдвічі , а смуга пропускання вдвічі розширюється.

В ряді випадків паралельні контури другого і третього видів застосовуються для фільтрації струмів з небажаними частотами, які можуть створюватись джерелом несинусоїдальної ЕРС і попадати в навантаження.

Основним недоліком таких контурів є менший коефіцієнт передачі в порівнянні з контуром першого виду, що має ті ж параметри.

Резонансні частоти контурів другого і третього видів визначаються відповідно

f₀₂ = 1/(2π √ (L₁ +L₂)C ),

f₀₃ = 1/(2π √ LC₁C₂/(C₁+C₂)).

Розширення смуги пропускання.

В ряді випадків необхідно штучно розширити смугу пропускання контура, не змінюючи його резонансної частоти. Для цього необхідно зменшити добротність контура, що досягається збільшенням опору втрат чи зменшенням хвильового опору. Другий спосіб складніший і застосовується рідко. Зменшити добротність за рахунок збільшення активного опору втрат контура можна двома шляхами: введенням в контур додаткового резистора R_д (рис.7а), або шунтуванням контуру резистором R_ш (рис.7б).

R_д = (Z_хв 2∆f_т / f₀) – R_втр ,

де 2∆f_т – необхідна смуга пропускання.

R_ш = Z_хв²/ R_д.

Рисунок 7

24

Зв’язані контури. Частковий , повний та складний резонанс в зв’язаних контурах.

Зв’язані контури - це такі системи з одиночних контурів, електричні процеси в яких впливають один на одного завдяки загальному магнітному чи електричному полю. Найчастіше використовуються в РЕА системи з двох контурів. Коливальний контур, під’єднаний до генератора, називають первинним, а контур, в який енергія передається з первинного – вторинним.

Найбільше поширення мають індуктивний (трансформаторний і автотрансформаторний) та ємнісний (внутрішньо- та зовнішньоємнісний) зв’язки між контурами. Відповідні схеми зображені на рисунку 1.

При автотрансформаторному зв’язку (рис.1а)) енергія з первинного контура, що складається з елементів L₁,C₁, R_втр1 (R_п1), передається у вторинний з допомогою індуктивності зв’язку L_зв, яка є спільною для первинного і вторинного контурів. Зазвичай котушка зв’язку є частиною індуктивної котушки L₁ первинного контуру. Вторинний контур складається з елементів L₂,C₂, R_втр2(R_п2), L_зв. Струм I_m2 у вторинному контурі створюється ЕРС самоіндукції в котушці L_зв, що виникає при проходженні через котушку струму I_m1.

Чим більша L_зв, тим більша ЕРС самоіндукції ( при тому ж струмі I_m1), значить більший струм I_m2 і сильніший зв'язок між контурами.

Двоконтурний ланцюг з трансформаторним зв’язком зображено на рис.1б). Схема дозволяє плавно регулювати зв’язок між контурами, тому контури з трансформаторним зв’язком знайшли широке застосування в РЕА. Передача енергії у вторинний контур здійснюється з допомогою магнітного потоку, що створюється струмом I₁ в котушці первинного контуру L₁ після підключення контуру до генератора змінної напруги. Магнітний потік взаємодіє з витками котушки L₂ , наводячи в ній ЕРС взаємоіндукції. Ця ЕРС є джерелом струму I₂ у вторинному контурі. Цей струм створює в котушці L₂ власний магнітний потік, що взаємодіє з витками котушки L₁ і створює в ній ЕРС взаємоіндукції. Ця ЕРС приводить до зміни режиму роботи первинного контура. Зв’язок між контурами визначається взаємною індуктивністю М. Чим менша відстань між котушками L₁ і L₂ , тим більша М і сильніший зв’язок . Взаємна індуктивність залежить не тільки від відстані між котушками, а й від їх взаємного розташування. Якщо котушки паралельні одна одній - зв’язок максимальний, якщо перпендикулярні - мінімальний. Таким чином, регулюючи відстань між котушками або повертаючи одну з них відносно іншої, можна регулювати зв’язок між контурами.

При внутрішньоємнісному зв’язку (рис.1в)) струм I_m2 визначається напругою на конденсаторі С_зв, що виникає від струму I_m1. Ця напруга, а значить і зв'язок тим більші, чим менше С_зв в порівнянні з С₁. Регулювання зв’язку в контурах , зібраних по цій схемі , незручне, тому цей спосіб зв’язку застосовується рідко.

Зовнішньоємнісний зв'язок здійснюється з допомогою конденсатора С_зв, що включений між первинним і вторинним контурами. Чим більша ємність цього конденсатора, тим більший струм , що проходить через нього у вторинний контур, а значить більший і зв'язок між контурами.

25

Для усунення індуктивного зв’язку між контурами. Котушки L₁,L₂ розміщують в екранах.

Незважаючи на ускладнення конструкції через введення екранів, ця схема застосовується часто, оскільки дозволяє плавно регулювати зв'язок між контурами за допомогою регулювання ємності конденсатора С_зв.

Рисунок 1 – Схеми зв’язаних контурів

а) б)

Рисунок 2 – Схема заміщення а) та еквівалентна схема б) двоконтурного ланцюга з трансформаторним зв’язком

Для кількісної оцінки зв’язку між контурами вводиться коефіцієнт зв’язку :

k=X_зв/ √ Х₁Х₂ ,

де Х_зв – реактивний опір елемента зв’язку ;

26

Х₁ і Х₂ – реактивні опори відповідно первинного і вторинного контурів, що мають той же характер , що й Х_зв .

Для контуру рис.1 б) : трансформаторний зв'язок

Х_зв = ω М , Х₁=ωL₁, X₂=ωL₂,

звідки

k=M/ √ L₁L₂ .

Для автотрансформаторного зв’язку Х_зв= ωL_зв, для ємнісного Х_зв= 1/ ωС_зв.

Тоді коефіцієнти зв’язку відповідно : для автотрансформаторного зв’язку

k=L_зв/ √L₁(L₂+L_зв);

для внутрішньоємнісного

k=√С₁С₂/С_зв;

для зовнішньоємнісного

k= С_зв/√ С₁С₂.

Крім розглянутих існують і інші види зв’язку між контурами, в тому числі комбінований (рис.1 в)) при умові відсутності екранів. Тоді зв'язок регулюється одночасно зміною ємності конденсатора С_зв і взаємної індуктивності між котушками.

На схемі (рис.2 а)) зв’язані контури показані як чотириполюсник , внутрішній опір генератора прийнято рівним нулю , або таким , що входить в опір втрат контура. Вихідна напруга U₂ знімається з конденсатора С₂ вторинного контура.

Вхідний опір контурів має комплексний характер

Z_вх= R_вх + іХ_вх,

де R_вх , Х_вх – активна та реактивна складові вхідного опору.

R_вх= R_втр1+ω²М²R_в2/Z₂² ,

де R_втр1, R_втр2 – опори втрат в первинному і вторинному контурах.

Х_вх=X₁-ω²M²X₂/Z₂²_,

де Z₂= R_втр2+Х₂ - повний опір вторинного контура,

Х₁ = ωL₁-1/ωC₁ і Х₂= ωL₂-1/ωC₂ - реактивні

складові повних опорів первинного і вторинного контурів.

Другі доданки в формулах активної і реактивної складової вхідного опору обумовлені впливом вторинного контура і називаються відповідно вносимими активним і реактивним опорами: R_вн і Х_вн. Від’ємне значення реактивного вносимого опору показує , що його характер протилежний характеру реактивної складової повного опору вторинного контура.

Таким чином

R_вх= R_втр1+ R_вн,

Х_вх=X₁+ Х_вн.

Ці співвідношення дозволяють замінити двоконтурний ланцюг одним еквівалентним контуром , в якому вторинний контур врахований вносимими опорами R_вн і Х_вн (рис.2 б)).

27

Для того , щоб отримати максимальний коефіцієнт передачі зв’язаних контурів

К = U_m2/E_ген ,

де U_m2 – максимальна вихідна напруга на конденсаторі С₂ (рис.1 а)) ;

Е_ген – вихідна напруга генератора,

необхідно, щоб амплітуда струму у вторинному контурі I₂ була теж максимальною. Це досягається налагодженням контурів в резонанс з частотою генератора і підбором зв’язку між ними. Налагоджуючи почергово кожен контур в резонанс зміною ємностей С₁ і С₂ , добиваються часткових резонансів ,але , незважаючи на отримання при цьому максимального значення I₂, він не досягає граничного можливого максимального значення. Найбільшого струму у вторинному контурі можна досягти в режимах повного і складного резонансів.

Повний резонанс: спочатку встановлюють слабкий зв'язок між контурами ,при якому вносимі опори втрат малі і ними можна знехтувати, потім налагоджують окремо кожен контур в резонанс з частотою генератора і збільшують зв'язок між контурами до значення ,при якому амплітуда струму у вторинному контурі стає найбільшою.

При резонансі в обох контурах виконується умова Х₁₀ = 0 , Х₂₀ =0 , Х_вн=0, тому вхідний опір контурів Z_вх0 = R_вх0= R_втр1+R_вн і мінімальний.