3. Площадь поверхности вращения.

Теорема 4. Пусть функция не отрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке . Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси , имеет площадь , которая может быть вычислена по формуле:

.

► Разобьем произвольно отрезок на частей точками

.

Пусть , , , — соответствующие точки графика функции . Построим ломаную (рис. 8).

Рис.8.Площадь поверхности вращения

При вращении этой ломаной вокруг оси получается поверхность, составленную из боковых поверхностей усеченных конусов (цилиндров). Площадь боковой поверхности усеченного конуса (цилиндра), образованного вращением -го звена ломаной, равна

,

где – длина хорды , равная

.

По формуле Лагранжа

,

где .

Полагая , получаем .

Тогда площадь поверхности вращения приближенно равна площади поверхности, полученной от вращения ломаной

.

Представим эту сумму в виде двух сумм

.

Первая сумма в правой части последнего равенства является интегральной суммой и при в силу непрерывности функции имеет своим пределом интеграл . Покажем, что вторая сумма в правой части равенства имеет при предел, равный нулю. Действительно, так как функция равномерно- непрерывна на , то по теореме Кантора для любого существует такое, что при выполняются неравенства

, .

Пусть максимальное значение функции на отрезке .

Тогда

.

Так как произвольно мало, то отсюда следует, что указанного выражения равен нулю при .

Таким образом, переходя в равенстве для площади поверхности к пределу при , имеем

. ◄

В параметрическом виде. Пусть поверхность получается вращением вокруг оси кривой , заданной параметрическими уравнениями

, ,

где , , – непрерывные функции с непрерывными производными, причем , при , , .

Тогда, производя в интеграле для площади поверхности вращения переменной замену переменной , получаем

В полярных координатах. Пусть кривая задана уравнением в полярных координатах уравнением , , где имеет непрерывную производную на .

Тогда, учитывая формулы

, ,

получаем

.

Пример. Вычислить площадь поверхности, полученной вращением одной арки циклоиды

, , ,

вокруг оси .

Решение. Имеем

.

4. Объем пространственного тела.

Вычисление объемов тел по известным поперечным сечениям. Пусть дано тело , ограниченное замкнутой поверхностью. И пусть известна площадь любого его сечения плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс (рис.9,а,б). Эти сечения называются поперечными. Положение поперечного сечения определяется абсциссой точки его пересечения с осью .

С изменением площадь поперечного сечения изменяется, т.е. является некоторой функцией от . Обозначим ее . Функцию будем считать непрерывной на отрезке , где и – абсциссы крайних сечений тела .

Рис.9.Объем пространственного тела

Теорема 5. Объем тела, заключенного между двумя плоскостями и , в случае, если площадь сечения, проведенная перпендикулярно к оси Ох, есть известная функция от , , вычисляется по формуле

.

► Для вычисления объема тела применяется алгоритм составления интегральной суммы и предельного перехода к определенному интегралу.

1. Разобьем отрезок на частичных отрезков точками

.

Обозначим , . Через точки разбиения , проведем плоскости, перпендикулярные к оси Ох. Семейство плоскостей , , разобьет данное тело на слои, толщина каждого из которых равна , .

2. На каждом из частичных отрезков , , выберем произвольным образом точку и найдем значения функции в этих точках.

3. Предположим, что на каждом из частичных отрезков функция постоянна и совпадает со значением . Тогда каждый слой тела представляет собой прямой цилиндр с основанием и образующими, параллельными оси Ох. Объем такого частичного прямого цилиндра вычисляется по формуле

.

где – высота частичного цилиндра.

Объем всего тела приближенно равен объему фигуры, состоящей из ступенчатых частичных цилиндров (см. рис.10,б):

.

Очевидно, что последнее приближенное равенство тем точнее, чем меньше диаметр разбиения отрезка .

4. За точное значение искомого объема примем

.

Заметим, что сумма является интегральной суммой для непрерывной функции на отрезке . Следовательно,

.◄

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Решение. Пересечем эллипсоид плоскостью . В сечении получим эллипс

Площадь поперечного сечения равна .

Тогда .

Вычисление объемов тел вращения. Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции , ограниченной кривой , осью Ох и прямыми , (рис.10).

Рис.10. Объем тела вращения около оси

Рис.11. Объем тела вращения около оси

Если пересечь это тело плоскостями, перпендикулярными к оси Ох, получим круги, радиусы которых равны модулю ординат точек данной кривой. Следовательно, площадь сечения рассматриваемого тела

.

Применяя формулу , получаем формулу для вычисления объема тела вращения

.

Если тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рис.11), то его объем вычисляется по формуле

,

где , , – уравнение кривой .

Пример. Вычислить объем тела, получающегося от вращения вокруг оси одной арки синусоиды .

Решение. Имеем

.