Лекция 5. Геометрические приложения определенного интеграла
1. Площадь криволинейной трапеции.
2. Длина дуги кривой.
3. Площадь поверхности вращения
4. Объем пространственного тела.
1. Площадь криволинейной трапеции.
Теорема 1.
Если функция
неотрицательна и непрерывна на отрезке
,
то площадь криволинейной трапеции
вычисляется по
формуле
.
► Пусть
разбиение отрезка .
И пусть
– длина частичного отрезка
,
.
На каждом таком отрезке произвольным
образом выберем точку
.
Тогда значение функции
в точке
равно
.
Построим прямоугольники, основанием
которых являются отрезки
,
,
,
,
а высота равна
.
Рис.1. Площадь криволинейной трапеции
Площадь каждого
прямоугольника равна
.
Сумма
представляет собой площадь заштрихованной
ступенчатой фигуры, изображенной на
рисунке 1.
Эта площадь зависит
от разбиения
отрезка
на частичные отрезки и выбора точек
.
Чем меньше
,
,
тем площадь ступенчатой фигуры ближе
к площади криволинейной трапеции.
Поэтому
.
Точное значение площади
криволинейной трапеции получается при
:
,
где
.
◄
Замечания. 1.
Если
,
то и
,
.
Следовательно, в этом случае
.
2. Если
подынтегральная функция
конечное число раз меняет знак на отрезке
,
то интеграл
равен алгебраической сумме площадей
соответствующих криволинейных трапеций,
лежащих над осью Ох
(со знаком «+») и под этой осью (со знаком
«–») (рис.2). Для того чтобы получить
общую площадь заштрихованной фигуры,
отрезок интегрирования
надо разбить на частичные отрезки, на
которых функция
сохраняет знак, и вычислить площади.
Тогда
.
Рис.2. Площадь криволинейной трапеции
3. Если
надо вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
,
,
,
,
то эту площадь рассматривают как разность
площадей двух криволинейных трапеций
и
(рис.4). В этом случае можно воспользоваться
одной из формул:
,
если
(рис.3,а),
,
если
(рис.3,б).
Рис.3. Площадь криволинейной трапеции
В случае, когда
разность
не сохраняет знак на отрезке
,этот
отрезок разбивают на частичные отрезки,
на каждом из которых функция
сохраняет знак. Например, для случая,
изображенного на рис.5, площадь
заштрихованной фигуры находится по
формуле
.
Рис.4. Площадь криволинейной трапеции
Пример. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной аркой
синусоиды
.
Решение. Имеем
.
В
параметрическом виде.
Если
криволинейная трапеция ограничена
линией, заданной уравнениями в
параметрической форме
,
,
где
,
осью Ох
и прямыми
,
,
причем
,
,
то ее площадь
при
вычисляется по формуле
,
которая получается
заменой переменной
,
,
.
Пределы
,
определяют из уравнений
,
.
Пример. Вычислить площадь эллипса
,
где
.
Решение. Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса и поэтому делят его на четыре одинаковые части. Следовательно,
,
где
– площадь части эллипса, расположенная
в первом квадранте. Тогда
.
В
полярной системе координат.
Пусть
фигура, ограниченная линией
,
заданной в полярной системе координат
уравнением
,
.
Криволинейным
сектором
называется
фигура, ограниченная линией
и радиусами-векторами
,
(рис.5).
При этом криволинейный
сектор является правильной
фигурой,
если любой луч
,
,
исходящий из полюса
,
пересекает линию
не более чем в одной точке. И пусть
функция
непрерывна на отрезке
.
Рис.5. Криволинейный сектор |
Рис.6. Разбиение криволинейного сектора |
Теорема 2. Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:
.
► Для вычисления площади криволинейного сектора ОАВ применяется алгоритм составления интегральной суммы с последующим предельным переходом к определенному интегралу.
1. Разобьем отрезок
на
частичных отрезков точками
.
Обозначим
,
.
Проведем лучи
,
.
Тогда криволинейный сектор ОАВ
разобьется на
частичных криволинейных секторов
(рис.6).
2. На каждом частичном
отрезке
,
,
выберем произвольным образом точку
и найдем значения функции
в этих точках:
,
.
3. Предположим, что
на каждом из частичных отрезков
функция
постоянна и совпадает со значением
.
Тогда каждый частичный криволинейный
сектор можно заменить круговым сектором
с радиусом
и центральным углом
.
Площадь такого кругового сектора
вычисляется по формуле
.
За площадь криволинейного сектора ОАВ примем площадь фигуры, состоящей из частичных круговых секторов:
.
Приближенное
равенство тем точнее, чем меньше отрезки
,
т.е. чем больше
.
Правая часть равенства является
интегральной суммой для непрерывной
функции
на отрезке
.
4. За точное значение
площади
криволинейного сектора ОАВ
принимается предел интегральной суммы
при
:
.
◄
Пример. Вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного кардиоидой
,
где
.
Решение. Имеем
.