Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале (a,b), которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция распределения имеет постоянное значение, т. е. f(x) = C.

Так как , то

.

(24)

Отсюда закон равномерного распределения аналитически можно записать так:

(25)

График дифференциальной функции равномерного распределения вероятностей представлен на рис. 6.

Рис. 6

Интегральную функцию равномерного распределения аналитически можно записать так:

(26)

График интегральной функции равномерного распределения вероятностей представлен на рис. 7

Рис. 7

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание дискретной случайной величины X – это сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности .

.

(27)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b] – это определенный интеграл

.

(28)

Математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) есть неслучайная (постоянная) величина. Она характеризует среднее значение случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1. M(C)=C – математическое ожидание константы равно самой константе.

2. .

3. .

4. .

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение – это числовые характеристики случайной величины, которые позволяют оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Отклонением называют разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием, т. е. .

Пусть закон распределения дискретной случайной величины известен:

Так как одни возможные отклонения положительны, а другие отрицательны, то математическое ожидание отклонения обладает важным свойством:

,

т.е. математическое ожидание отклонения всегда равно нулю.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Для дискретной случайной величины

.

(29)

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой

,

(30)

т.е. дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Для непрерывной случайной величины:

.

(31)

В последнем выражении все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку (a, b).

Дисперсия случайной величины (как дискретной, так и случайной) есть неслучайная величина (постоянная величина).

Свойства дисперсии:

1. D (C) = 0.

2. D (CX) = С²D (X).

3. D (X+Y) = D (X) + D (Y).

4. D (C+X) = D (X).

5. D (X-Y) = D (X) – D (Y).

Если равномерно распределенная случайная величина задана в интервале [a,b], то ее математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение равны:

, , .

(32)

Разбор типовых задач

Задача 1

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения:

Х	4	6	7	8
P	0,25	0,5	0,1	0,15

Решение.

Вначале полезно проверить условие : 0,25 + 0,5 + 0,1 + 0,15 = 1, условие выполняется.

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:

, где .

В данном задании

;

.

При нахождении считается, что квадраты значений величины Х принимаются с теми же вероятностями, что и значения Х, т.е. закон распределения случайной вероятности таков:

X2	16	36	49	64
P	0,25	0,5	0,1	0,15

D(Х) = 36,5 – 34,81 = 1,69

Среднее квадратичное отклонение находится по формуле

Ответ: ; .

Задача 2

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	60	20	40	50
P	0,5	0,05	0,35	0,1

Решение.

Закон распределения в данном виде полностью дискретную случайную величину Х не описывает, т.к. неизвестна вероятность p₂ значения х₂ = 20.

Но учитывая условие , можно доопределить данный закон, найдя р₂ по формуле:

р₂ = 1-(р₁+р₃+р₄) = 1-(0,5+0,35+0,1) = 0,05

Найдем математическое ожидание М(Х):

.

Тогда (М(Х))²≈1400.

Закон распределения случайной величины Х² таков:

Х2	3600	400	1600	2500
P	0,5	0,05	0,35	0,1

Дисперсия находится по известной формуле:

, а среднее квадратическое отклонение как:

Ответ: D(X) = 1230, .

Задача 3

Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение, если задана непрерывная случайная величина интегральной функцией распределения:

Решение.

Найдем дифференциальную функцию распределения:

Математическое ожидание X и X²:

;

.

Тогда:

;

.

Ответ: D(X) = , .