Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

(4)

Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.

(5)

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

(6)

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

(7)

Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события:

.

(8)

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:

.

(9)

Также можно записать:

.

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности.

Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид:

.

(10)

Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

.

(11)

Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий A_i, а q_i – вероятность противоположных событий .

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события А при наступлении события H_i .

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А:

.

(12)

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события:

.

(13)

Разбор типовых задач

Задача 1

В урну, содержащую 4 шара, опущено 2 белых шара, после чего из нее на удачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение.

Задача может быть решено с помощью формулы полной вероятности:

,

где .

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого их этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

В нашем задании событие А – извлечен белый шар;

событие (предположение) – первоначально в урне не было белых

шаров;

событие – первоначально в урне был один белый шар;

событие – первоначально в урне было два белых шара;

событие – первоначально в урне было 3 белых шара;

событие – первоначально в урне все 4 шара были белые.

Найдем вначале вероятность Р(В_i), i = 1,…,5. Т.к. события В₁, В₂, В₃, В₄, В₅ равновозможны, несовместны и образуют полную группу, то

;

Пусть . Тогда 5х =1 х = , т.е. , i=1,…,5.

Для того, чтобы воспользоваться формулой полной вероятности, необходимо найти условные вероятности события А.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар при наступлении события В₁, есть , так как перед извлечением шара число всех шаров в урне (число всех исходов) равно 6, а число белых шаров (число благоприятствующих исходов) равно 2. Аналогично , , , .

Согласно формуле полной вероятности

.

Ответ: .

Задача 2

В лототрон, содержащий 3 лотерейных билета, добавили пять невыигрышных, после чего извлекли произвольным образом один билет. Какова вероятность того, что он выигрышный?

Решение.

В данном задании А – извлеченный выигрышный билет.

Решаем задачу, как и задачу 1, с помощью формулы полной вероятности.

Запишем полную группу несовместных событий (предположений), при наступлении которых появляется событие А:

событие В₁ – первоначально в барабане выигрышных билетов не было;

событие В₂ – первоначально в барабане был один выигрышный билет;

событие В₃ - первоначально в барабане было два выигрышных билета;

событие В₄ – первоначально в барабане все три билета были выигрышные.

Найдем вероятности Р(В_i), i = 1,2…,4, для чего выпишем систему уравнений, аналогичную системе в задании 1:

.

Пусть Р(В₁) = х. Тогда 4х = 1, откуда т.е. , i=1,...,4.

Вычислим условные вероятности события А:

т.к. перед извлечением билета в предположении В₁ число всех билетов (исходов) равно 8, а выигрышных билетов нет. Аналогично:

Согласно формуле полной вероятности:

.

Ответ:

Нужно заметить, что данный пример можно решить с помощью понятия "противоположные события".

Событие, противоположное событию А, есть - извлеченный шар невыигрышный. Если вероятность Р( ) найдена, то Р(А) = 1- Р( ).