Strong screening: Gouy-Chapman model
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Prove that: |
QDL = 8kBTL kwε0 I0 Nav ×sinh zqψ0 |
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kBTL |
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n |
+ |
= I0 Nave |
−qψ kBTL |
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Boundary conditions: ψ(0) =ψ0 , |
ψ(∞) = 0 |
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d 2ψ |
= − |
ρDL |
= − |
zq |
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(n+ −n− ) |
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||||
dx2 |
κwε0 |
κwε |
0 |
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Recall that |
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−qψ k T |
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n |
− |
= I0 Nave |
+qψ k T |
n |
− |
= I0 Nave |
+qψ kBTL |
||||||||||
n |
+ |
= I0 Nave |
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||||||||||||||||
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B L |
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|
B L |
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||||||||||
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d 2ψ |
= − |
ρDL |
= − |
zq |
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(n+ −n− ) |
= |
2zqI0 Nav |
sinh(zqψ kBT ) |
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|||||||
dx2 |
κwε0 |
κwε |
0 |
|
κwε0 |
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||||||||||||
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Alam, Principles of Nanobiosensors, 2013 |
18 |
Gouy-Chapman model (2)
d 2ψ |
= |
2zqI0 Nav sinh(zqψ kBT ) |
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dx2 |
|
κwε0 |
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|||
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dψ |
|
d 2ψ |
d dψ 2 |
dψ |
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2zqI |
0 |
N |
av |
zqψ |
|||||
2 |
dx |
× |
dx |
2 = |
|
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|
= 2 |
dx |
× |
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sinh |
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||
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κwε0 |
|
|||||||||||||
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|
dx |
dx |
|
|
kBT |
||||||||
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∞ |
dψ 2 |
= |
0 |
4zqI |
|
N |
zqψ |
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|||||||||
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∫0 |
d |
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0 |
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av sinh |
dψ |
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dx |
|
ψ∫0 |
|
κwε0 |
kBT |
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dψ |
|
2 |
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− |
dψ |
2 |
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zqψ0 |
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||||||||||||||
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= 4I0 Nav kBT cosh |
−1 |
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dx |
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|
dx |
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κwε0 |
|
|
kBT |
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||
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x=∞ |
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x=0 |
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|||||||||
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Alam, Principles of Nanobiosensors, 2013 |
19 |
Gouy-Chapman model (3)
dψ |
2 |
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= |
4I |
0 |
N |
av |
k |
B |
T |
×2sinh2 |
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zqψ |
0 |
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|||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||
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2kBT |
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||||||||||||||||
dx |
|
x=0 |
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κwε0 |
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|||||||||||||
dψ |
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|
zqψ |
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|||||
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= |
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8I |
0 |
N |
av |
k |
|
T |
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sinh |
0 |
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|||||||||||
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|
B |
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|||||||||
dx |
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|
x=0 |
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κwε0 |
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2kBT |
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|||||||||||
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QDL |
=E = dψ |
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Gauss’s law @x=0 |
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kwε0 |
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|
dx |
|
x=0 |
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sinh zqψ0 |
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||||||||||
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Q |
= k |
w |
ε |
0 |
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8I0 Nav kBT |
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|||||||||||||||||||||
DL |
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|
κwε0 |
|
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|
|
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|
2kBT |
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|||||||||||
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||||||||||
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|
zqψ0 |
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= 8kBTL kwε0 I0 Nav ×sinh |
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2kBTL |
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n+ = I0 Nave−qψ 
kBTL
x
n− = I0 Nave+qψ 
kBTL
20
Gouy-Chapman model (4)
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sinh zqψ0 |
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Q |
= k |
w |
ε |
0 |
8I0 Nav kBT |
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DL |
|
κwε0 |
|
2kBT |
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|||||
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|||
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zqψ0 |
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|||
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= |
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8kBTL kwε0 I0 Nav ×sinh |
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||||||||
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|
|
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|
2kBTL |
|
≈Q0 ×exp zqψ0 2kBTL
Q0 ≡ 
2kBTL kwε0 I0 Navg
Alam, Principles of Nanobiosensors, 2013 |
21 |