Приложение b.

Общие сведения о решении уравнения Шредингера.

Введение.

Движение квантовой частицы в общем случае описывается уравнением Шредингера:

. (B.1)

Здесь i – мнимая единица,  =1.054610^-34 (Джс) - постоянная Планка. Оператор Ĥ называется оператором Гамильтона. Вид оператора Гамильтона зависит от типа взаимодействия электрона с внешними полями.

Если не учитывать спиновые свойства электрона, например, не рассматривать движение электрона в магнитном поле, то оператор Гамильтона можно представить в виде.

(B.2)

Здесь – оператор кинетической энергии:

, (B.3)

где m=9.109410^-31 (кг) – масса электрона. Потенциальная энергия описывает взаимодействие электрона с внешним электрическим полем.

В данной лабораторной работе будет рассматриваться одномерное движение электрона вдоль оси x. Уравнение Шредингера в этом случае принимает следующий вид:

. (B.4)

Уравнение (B.4) с математической точки зрения является дифференциальным уравнение в частных производных для неизвестной волновой функции =(x,t). Известно, что такое уравнение имеет определенное решение, если заданы соответствующие начальные и граничные условия. Начальные и граничные условия выбираются исходя из конкретной физической задачи.

Пусть, например, электрон движется слева направо с некоторым средним импульсом p₀. Кроме того, в начальный момент времени t=0, электрон локализован в некоторой области пространства x_m-d < x < x_m+d. Здесь x_m – центр области локализации электрона, а d – эффективная полуширина этой области.

В этом случае начальное условие будет выглядеть следующим образом:

. (B.5)

Здесь ₀(x) – волновая функция в начальный момент времени. Волновая функция это комплексная функция, поэтому графически удобно представлять не саму волновую функцию, а плотность вероятности.

Плотность вероятности, нахождения электрона в данном месте в данный момент времени выражается через волновую функцию следующим образом:

. (B.6)

Заметим, что вероятности должна быть нормирована на единицу. Отсюда получаем условие нормировки волновой функции:

. (B.7)

Распределение плотности вероятности в начальный момент времени

, (B.8)

можно изобразить графически. На Рис.3. показано возможное расположение электрона в начальный момент времени.

Рис.3.

Расположение электрона в момент t=0.

Из этого рисунка видно, что с наибольшей вероятностью электрон находится в точке x_m. Буквой A будем обозначать амплитуду (максимальное значение) распределения вероятности. Из этого рисунка так же видно, как определяется ширина 2d или полуширина d распределения. Если распределение имеет экспоненциальный или гауссов характер, то ширину распределения определяют на уровне в e раз меньшем, чем максимальное значение.

На Рис.3. показан вектор среднего импульса электрона. Это означает, что электрон движется справа налево, и распределение вероятности так же будет перемещаться справа налево. На Рис.2. показано распределение вероятности в три последовательных момента времени. На Рис.2. видно, что максимум распределения x_m(t) перемещается слева направо.

На Рис.2. можно заметить, что движение электрона справа налево сопровождается деформацией распределения плотности вероятности. Амплитуда A(t) уменьшается, а полуширина d(t) растет. Все указанные детали движения электрона можно получить, если решить уравнение Шредингера (B4) с начальным условием (B.5).

Резюме. В зависимости от постановки физической задачи может меняться вид уравнения Шредингера. При исследовании тех или иных физических явлений, описываемых уравнением Шредингера, выбираются нужные начальные и граничные условия для нахождения решения уравнения Шредингера.