35

Московский институт электронной техники

Кафедра КФН

Лабораторная работа 2

Свободное движение электрона. Волновой пакет.

Общие указания.

На экране моделируется движение электрона в виде изменяющегося со временем распределения плотности вероятности. Кривая на экране имеет вид гауссовой кривой. Эта кривая описывает распределение плотности вероятности , для электрона в состоянии с волновой функцией . Обычно эту волновую функцию называют волновым пакетом. Однако для простоты будем называть волновым пакетом распределение плотности вероятности .

Движение волнового пакета характеризуется тремя физическими параметрами.

1. Амплитуда волнового пакета – это максимальное значение распределения плотности вероятности. По мере движения электрона, амплитуда пакета уменьшается.

2. Полуширина пакета – это половина ширины распределения плотности вероятности на высоте в e раз меньшей амплитуды пакета. По мере движения электрона, амплитуда пакета уменьшается.

3. Скорость движения электрона – это скорость движения вершины пакета. По мере движения электрона, скорость не меняется.

Скорость электрона вычисляется с помощью следующей формулы.

. (1)

Здесь – импульс электрона, m- масса электрона. В приложении доказывается, что есть среднее значение электрона в состоянии с волновой функцией . Соответственно является средней скоростью электрона в этом состоянии . Среднее значение импульса удобно связать с энергией с помощью формулы.

. (2)

Задается энергия электрона , в электрон-вольтах . Энергию будем менять в пределах 0  1000 эВ. Необходимо поэкспериментировать с разными значениями энергии. Если взять небольшую энергию, например 1 эВ, то пакет движется медленно, быстро деформируется на небольших расстояниях. Если же взять большую энергию, например 1000 эВ, то волновой пакет проходит всю рабочую область экрана, практически не меняя формы. Поэтому для исследования, изменения формы пакета, удобно брать энергию в пределах 10  100 эВ.

Пространственные величины в этой работе измеряются в ангстремах . Начальную полуширину пакета будем менять в пределах 0.1  10 Å. Необходимо поэкспериментировать с разными значениями . Если взять узкий пакет, то пакет очень быстро деформируется. Если же взять широкий пакет, проходит всю рабочую область экрана, практически не меняя формы.

Время будем измерять в фемтосекундах .

Задания.

Если электрон находится в состоянии с волновой функцией в виде волнового пакета (А.22), то это означает, что распределение плотности вероятности найти электрон в момент времени t в точке пространства с координатой x определяется следующей формулой (A.24).

(3)

Следующие 4 задания будут посвящены исследованию эволюции волнового пакета, заданного этой формулой.

Задание 1.

а) Запустить программу free_movement.m и получить картинку, показанную на Рис. 01. Подставить в программу free_movement.m данные своего варианта. Подбирая пространственные параметры xBegin, xEnd и временные параметры t1, t2, t3, t4 в этой программе, получить для своего варианта картину похожую на Рис.01.

Работу программы показать преподавателю. Подобранные параметры занести в конспект. Эти параметры нужно будет использовать в следующих заданиях.

Рис.01.

Положение пакета в разные моменты времени.

б) С помощью формул (1), (2) вычислить скорость электрона для своего варианта. Использовать единицы Å/фс (ангстремы на фемтосекунды), В приведенном примере энергия электрона равна , откуда получается следующая скорость.

Результат занести в конспект и показать преподавателю.

Задание 2.

а) Запустить программу Wave_Packet, файлы которой находятся в папке Wave_Packet. Запускать программу надо из файла main.m.

Рис.02.

Изменение амплитуды пакета со временем.

После запуска программы обнаружится, что полученная картина отличается от картины на Рис. 02. В верхней части окна отсутствует информация об изменении полуширины пакета от времени.

Поэтому вначале надо программу Wave_Packet изменить, добавив нужные строчки кода, что бы результат был таким же, как на Рис.02. Посмотрим, какие изменения надо произвести в функциях программы Wave_Packet.

Во-первых, рассмотрим функцию Work_Window. Эта функция создает рабочее окно и элементы управления (controls). В этой функции создаются 8 элементов управления, четыре типа 'pushbutton' – управляющие кнопки, и четыре типа 'text' – текстовые поля для вывода информации. Как оформляются элементы управления можно понять, если рассмотреть код функции Work_Window. Детали же можно посмотреть в справочной системе Help MATLAB.

У каждого элемента управления имеется свой дескриптор (handle), другими словами номер по которому система различает элементы управления. Дескрипторы можно обозначать любым набором символов без пробелов. В функции Work_Window дескрипторы обозначаются следующим образом: hBut1, hBut2, hBut3, hBut4, hTxtys1, hTxtys1T, hTxtys2, hTxtys2T. Для краткости будем элемент управления называть именем его дескриптора.

Рассмотрим следующие четыре элемента управления - hTxtys1, hTxtys1T, hTxtys2, hTxtys2T. Код этих элементов управления находится в конце функции Work_Window. Первый элемент управления hTxtys1T это текстовое поле, в котором находится надпись символа времени, и единица измерения времени 't (fs) = '. Следующее текстовое поле hTxtys1 предназначено для показа текущего времени во время работы программы. Вначале в нем установлено значение ноль '0'. Следующие два элемента управления hTxtys2, hTxtys2T предназначены для вывода информации о величине амплитуды волнового пакет при движении пакета.

Для того чтобы передать дескрипторы элементов управления из функции Work_Window в другие функции программы, эти дескрипторы объявляются глобальными переменными. Для этого в начале функции Work_Window перед дескрипторами ставится служебное слово global.

Заметим, что элементы управления располагаются в рабочем окне программы, или можно сказать в графическом окне, в котором появляется вся графическая информация. Графическое окно создается функцией figure, и имеет дескриптор hFig1.

б) Задача студента добавить в конце функции Work_Window два элемента управления hTxtys3, hTxtys3T для вывода информации о полуширине пакета во время движения пакета. Не забыть в начале функции Work_Window описать дескрипторы как глобальные переменные.

Во-вторых, рассмотрим функцию Move_Packet. В начале функции Move_Packet с помощью функции set элементы управления делаются видимыми 'Visible on', активными 'Enable on' или не активными 'Enable off'.

в) Задача студента добавить две строчки кода, чтобы сделать видимыми два поля вывода hTxtys3, hTxtys3T.

Далее посмотрим на следующие строчки кода функции Move_Packet.

str = num2str(t);

set(hTxtys1,'String',str);

str = num2str(AFun(h,m,d0,t));

set(hTxtys2,'String',str);

Функция num2str переводит значение времени t в строчку str, которая затем появляется в поле вывода hTxtys1. Аналогично две следующие строчки кода переводят значение амплитуды пакета, которая вычисляется с помощью функции AFun(h,m,d0,t), в строчку str , и затем выводят результат в поле вывода hTxtys2.

г) Задача студента добавить в этом месте функции Move_Packet две строчки кода, чтобы вычислить значение полуширины пакета d(t) в момент t, перевести результат в строчку str и поместить в поле вывода hTxtys3.

д) Запустить измененную программу Wave_Packet и получить картинку, совпадающую с Рис. 02.

е) Подставить во вновь созданную программу Wave_Packet данные своего варианта и параметры из задания 1. Подбирая временной параметры dt – шаг по времени и время задержки изображения del в функции pause(del), получить для своего варианта картину плавного движения волнового пакета, со скорость не слишком маленькой и не слишком большой. В приведенном примере с энергией и полушириной пакета выбраны следующие временные параметры dt = 0.02, pause(0.02).

Работу программы показать преподавателю.

ж) Запустив программу Wave_Packet с помощью кнопки <Start> и останавливая движение волнового пакета с помощью кнопки <Stop> и затем, возобновляя движение с помощью кнопки <Move> заполнить следующую таблицу.

	1	2	3	4	5

Для приведенного примера эта таблица может иметь следующий вид.

	1	2	3	4	5
	0.78	1.48	2.22	2.92	3.98
	0.12293	0.96437	0.074723	0.060505	0.046406
	4.5894	5.8503	7.5504	9.3246	12.1576

Таблицу занести в конспект и показать преподавателю.

Задание 3.

Запустить программу amplitude и получить картинку, показанную на Рис. 03. В этой программе строится зависимость амплитуды пакета от времени с помощью формулы (А.27). На полученную кривую нанесены значения амплитуды в 5 моментов времени, полученные в задании 2, и взятые из соответствующей таблицы. Для своего варианта подобрать нужные параметры, и получить картину похожую на Рис. 03.

Рис.03.

Изменение амплитуды пакета со временем.

Работу программы показать преподавателю.

Задание 4.

Запустить программу half_width и получить картинку, показанную на Рис. 04. В этой программе строится зависимость полуширины пакета от времени с помощью формулы (А.26). На полученную кривую нанесены значения полуширины в 5 моментов времени, полученные в задании 2, и взятые из соответствующей таблицы. На картине показа также асимптотическая линия. Для своего варианта подобрать нужные параметры, и получить картину похожую на Рис. 04.

Рис.04.

Изменение полуширины пакета со временем.

Работу программы показать преподавателю.

Если электрон находится в состоянии с волновой функцией в виде волнового пакета (А.22), то это означает, что велика вероятность обнаружение электрона в данный момент времени t в области следующего размера.

.

В частности в начальный момент времени этот интервал будет следующим.

.

Поэтому параметр определяет неопределенность координаты электрона. В квантовой механики неопределенность координаты принято определять, как среднеквадратичное отклонение . В приложении показывается, что среднеквадратичное отклонение координаты у волнового пакета (А.22) определяется формулой (B.55).

(4)

В квантовой механике показывается, что если имеется отличная от нуля неопределенность координаты электрона , то должна быть отличная от нуля неопределенность импульса электрона . Эти неопределенности связаны соотношением Гейзенберга. Соотношение неопределенности имеет следующий вид.

(5)

Так как существует разброс импульса электрона в некотором интервале, то можно говорить о вероятности электрону иметь то или иное значение импульса. В общем случае найти распределение плотности вероятности импульса электрона можно по формулам (B.42), (B.45), (B.46). Плотность вероятности импульса для волнового пакета (А.22) определяется формулой (B.49).

(6)

Рис.05.

Зависимость плотности вероятности импульса электрона от его импульса.

Оценим, какие значения импульса принимает электрон в данной работе. Возьмем, например, электрон с энергией . Тогда по формуле получим следующее значение импульса электрона . Получилась величина неудобная для использования в расчетах. Однако если расстояние измерять в ангстремах, а время в фемтосекундах, то получится приемлемый результат . Поэтому дальше измерять импульс будем в единицах .

Распределение (6) показано на Рис. 05. Вертикальной зеленой линией отмечено положение среднего импульса электрона . Красными линиями отмечены значения импульсов и . Как показано в приложении неопределенность импульса для волнового пакета (А.22) определяется формулой (B.53).

(7)

Как видно из формул (4) и (7) соотношение неопределенность Гейзенберга (5) в этом случае принимает вид.

(8)

Вероятность электрону иметь импульс в пределах определяется следующим интегралом.

(9)

В программе momentum_distribution строится распределение импульса Рис. 05 и вычисляется интеграл (9).

Задание 5.

а) Запустить программу momentum_distribution и получить картину, показанную на Рис. 05. Для своего варианта подобрать нужные параметры, и получить картину похожую на Рис. 05.

Работу программы показать преподавателю.

б) С помощью программы momentum_distribution найти средний импульс электрона , неопределенность импульса и вычислить интеграл (9). Кроме того, вычислить вероятности и . Заполнить следующую таблицу.

Для приведенного примера некоторые из этих величин соответственно равны.

17.0646	1.8562		0.6826

Таблицу занести в конспект и показать преподавателю.

Как показывает анализ, неопределенность импульса для волнового пакета (А.22) не изменяется со временем и определяется формулой (7). Неопределенность координаты напротив изменяется со временем. Как видно из рассмотренных выше заданий, ширина пакет растет со временем, а это означает, что растет со временем и неопределенность координаты. Анализ показывает, что для неопределенности координаты в любой момент времени справедлива формула.

(10)

В начальный момент времени неравенство Гейзенберга (5) для волнового пакета превращается в равенство (8). Затем при движении волнового пакета равенство превращается в неравенство, и по мере движения неравенство Гейзенберга усиливается.

в) Используя результаты задания 2, заполнить следующую таблицу.

	1	2	3	4	5

Для приведенного примера эта таблица может иметь следующий вид.

	1	2	3	4	5
	0.78	1.48	2.22	2.92	3.98
	1.147 > 1	1.463 > 1	1.888 > 1	2.331 > 1	3.039 > 1

Таблицу занести в конспект и показать преподавателю.

Варианты к лабораторной работе.

Номер варианта	, эВ	, Å
1	20	1
2	30	1
3	40	1
4	50	1
5	60	1
6	70	1
7	20	1.25
8	30	1.25
9	40	1.25
10	50	1.25
11	60	1.25
12	70	1.25
13	20	1.5
14	30	1.5
15	40	1.5
16	50	1.5
17	60	1.5
18	70	1.5
19	20	1.75
20	30	1.75
21	40	1.75
22	50	1.75
23	60	1.75
24	70	1.75
25	20	2
26	30	2
27	40	2
28	50	2
29	60	2
30	70	2