Матрица линейного пфэ типа
№ опыта |
|
План |
|
|
|
|
Отклик
|
||
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
|
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
|
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
5 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
|
6 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
|
7 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
|
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
Во
втором столбце приведены значения
фиктивной переменной (
)
для оценки свободного члена 
регрессионного уравнения (ожидаемого
отклика в центре плана). Столбцы 6-9 служат
для оценки эффектов взаимодействия
факторов. В столбце 10 приводятся
результаты опытов. Следует отметить,
что для статистической достоверности
каждый опыт должен осуществляться
несколько раз, т.е. отклик
по каждой строке матрицы должен
определяться как среднее арифметическое
из 5-10 параллельных опытов.
План эксперимента, представленный столбцами 3-5 табл. 5.1 обладает следующими свойствами:
Первое из этих условий – условие ортогональности к столбцу из единиц, второе – условие нормировки.
После проведения эксперимента типа и получения его результатов (столбец 10 табл. 2) осуществляется их обработка для определения полиномиального регрессионного уравнения вида
,
которое содержит оценку влияния на выходной показатель факторов, их парных и тройных взаимодействий.
Численное значение коэффициентов регрессии определяется в соответствии с методами матричной алгебры:
,
где В – матрица-столбец коэффициентов регрессии;
- транспорированная матрица планирования эксперимента;
Y – матрица-столбец результатов эксперимента.
Практически для расчета коэффициентов регрессии столбцу 10 (табл. 2) следует приписать знаки соответствующего столбца , сложить все значения отклика со своими знаками и результат разделить на число опытов матрицы планирования. Для матрицы получаем:
Далее осуществляются статистические проверки: на значимость коэффициентов регрессии, на достоверность математической модели, на нормальность распределения результатов опытов и др. По результатам обработки данных можно предположительно принять, что 3-4 наименьших по абсолютной величине коэффициента регрессии являются статистически незначимыми, поэтому члены уравнения, в которые они входят, отбрасываются.
После этого осуществляют переход от кодированных переменных к натуральным.
Для наглядности и анализа исследуемого процесса по найденной регрессионной модели целесообразно построить графические зависимости типа (можно также строить зависимости типа с поочередным попарным сочетанием в пространственном изображении). В графических зависимостях неварьируемые факторы принимаются равными своим средним уровням.
Пример.
Исследователь
предположил, что выходной показатель
качества продукции 
зависит от трех влияющих факторов 
.
Для построения многофакторной
регрессионной модели был проведен
эксперимент по линейному плану типа
(табл. 2), в котором диапазон варьирования
факторов был принят соответственно:
100-200; 20-60; 10-30. Результаты эксперимента
в виде значений выходного показателя
(столбец 10 табл. 2) следующие: 2; 6; 4; 8; 10;
18; 8; 12.
Обработать результат эксперимента и определить регрессионную модель процесса.
Решение
В соответствии с диапазонами варьирования устанавливаем основные уровни факторов: 150; 40; 20. Соответствующие интервалы варьирования: 50; 20; 10.
По формуле перехода натуральных переменных к кодированным значениям запишем для факторов:
Рассчитывая коэффициенты регрессии, получаем
Предположим, что в соответствии со статистической проверкой коэффициенты по модулю, меньшие 0,5, являются статистически незначимыми. Тогда регрессионная модель процесса в кодированных переменных будет
Подставляя в последнее выражение вместо кодированных переменных формулы перехода , получим регрессионную модель в натуральных факторах
Для наглядности анализа дальше следует строить графические зависимости.