Планирование эксперимента и обработка его результатов
Большинство исследуемых процессов относится к классу сложных систем, характеризуемых значительным числом взаимосвязанных параметров. Задача исследования таких систем заключается в: а) установлении зависимости между входными параметрами (влияющими факторами) и показателями качества функционирования систем (выходными показателями); б) определении уровней (значений) факторов, оптимизирующих выходные показатели.
В условиях неполного знания сущности исследуемого процесса задачи идентификации и оптимизации, т.е. отыскания оптимальных условий протекания процесса или оптимального выбора состава многокомпонентных систем, решаются с помощью экспериментально-статистических методов. В этом случает модель процесса (объекта исследования) удобно представить в виде кибернетической системы «черного ящика» с k входами (влияющими факторами) и m выходами (показателями функционирования или качества работы системы) (рис. 4).
Исследование процесса целесообразно осуществлять экспериментально, причем эксперимент должен быть организован рациональным образом. Современное планирование эксперимента отличается от классического подхода тем, что всегда исследуется одновременно, по меньшей мере, два фактора. В традиционном подходе, если нужно проанализировать действие нескольких факторов, они проверяются последовательно друг за другом, каждый на нескольких уровнях. Этот подход, позволяющий получать только частные зависимости выходного показателя от влияющих факторов, не только не эффективен, но способен привести к неверным результатам. Оптимальная область процесса таким способом может быть вообще не найдена. Кроме того, классические методы не позволяют определить взаимодействия факторов.
Рис. 4. Кибернетическая модель «черного ящика»
Сущность многофакторного эксперимента состоит в следующем: нужно так ввести факторы и измерить их эффекты и взаимодействия, а также чувствительность этих эффектов, чтобы сравнить их друг с другом и по возможности ограничить влияние случайных вариаций. Основные принципы планирования эксперимента:
повторение (дублирование) опытов, позволяющее оценить ошибку эксперимента и привести к ее уменьшению;
рандомизация (случайное распределение), позволяющее получить несмещенные оценки интересующих исследователя эффектов путем исключения известных и неизвестных систематических ошибок, которые обусловлены факторами времени и пространства, и обеспечить одновременно независимость результатов эксперимента. Рандомизацию следует осуществлять, назначая последовательность проведения опытов с помощью таблицы (генератора) случайных чисел.
Решение задачи начинается с ее формулировки. Исследователь должен иметь четкое, однозначное представление о цели работы. Желательно, чтобы цель исследования была сформулирована количественно, так как планирование эксперимента связано, прежде всего, с установлением количественных связей между входными и выходными параметрами (факторами и показателями) изучаемой системы; разумеется, объект исследования должен быть управляемым.
При выборе параметра оптимизации (выходного показателя) должны удовлетворяться следующие требования. Целесообразно, чтобы выходной показатель был однозначным, характеризовался числами, действительно определял оптимум. Надо стремиться к тому, чтобы показатель был только один, имел ясный физический смысл и оценивался с максимальной статистической эффективностью (последнее позволяет сократить число параллельных опытов).
Не менее сложно выбрать факторы, влияющие на изменение выходного показателя. Если при постановке задачи не учесть какой-либо сильно влияющий фактор, то вся работа окажется бесполезной. Поэтому при планировании эксперимента необходимо включать в план исследования все факторы, которые, по мнению исследователя, могут влиять на выходной показатель. Если выбранных факторов оказывается очень много (более 10), то возникает проблема отсеивания незначимых факторов. В настоящее время существуют статистические способы отсеивания.
Факторы, которые невозможно учесть в эксперименте, необходимо в течение всех опытов стабилизировать на постоянных уровнях.
Выбирая факторы, рекомендуется учитывать область, ограничивающую их возможное варьирование. Желательно, чтобы факторы имели количественную оценку, хотя планирование эксперимента возможно, когда некоторые факторы представлены качественно.
Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует определенная точка в многомерном (k-мерном, где k – число факторов) факторном пространстве. Опыты не могут быть реализованы во всех точках факторного пространства, а лишь в точках, принадлежащих его допустимой области G.
На различные наборы уровней факторов система реагирует по-разному. Однако существует вполне определенная связь между уровнями факторов и реакцией (откликом) системы. Эта связь характеризуется математическими моделями
, .
Функцию , связывающую параметр оптимизации (выходной показатель ) с факторами , называют функцией отклика, а геометрический образ, соответствующий функции отклика, - поверхностью отклика
Перед экспериментом, исходя из априорной информации, выбирают границы изменения факторов. В этих границах для каждого фактора устанавливают основной (средний) уровень и интервал варьирования.
Основной уровень (центр плана) для любого фактора
,
.
где
,
– граничные значения 
-го
фактора.
Интервал варьирования
.
Далее следует от системы координат перейти к новой безразмерной системе координат (т.е. к кодированным значениям факторов) . Формула перехода
,
где – кодированное значение - го фактора;
– натуральное значение - го фактора;
- натуральное значение - го фактора на основном (среднем) уровне.
В безразмерной системе координат верхний уровень каждого фактора равен +1, нижний -1, средний -0.
Следующий
этап планирования эксперимента –
составление линейного плана, реализация
опытов которого имеет целью определение
линейной математической модели
исследуемого процесса. В полном факторном
эксперименте (ПФЭ) реализуются все
возможные сочетания уровней факторов.
Если число уровней каждого фактора
равно двум (верхний и нижний), то имеем
ПФЭ типа 
.
Общее число непараллельных опытов
такого ПФЭ определяется, как 
.
Составляется
матрица полного факторного эксперимента
типа
,
где строки соответствуют различным
опытам, а столбцы – значениям факторов
в кодированном виде. Часть столбцов
матрицы является собственно планом
эксперимента, остальные столбцы служат
для обработки результатов эксперимента.
В таблице 2 приведена матрица ПФЭ типа
для трех факторов.
Таблица 2