Мгновенный центр ускорений

При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение какой-нибудь точки А фигуры и величины и , следующим путем:

1) находим значение угла , из формулы ;

2) от точки А под углом , к вектору проводим прямую АЕ (рис.45);

при этом прямая АЕ должна быть отклонена от в сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно является замедленным, т. е. в сторону направления углового ускорения ;

3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный

.

Рис.45

 

Построенная таким путем точка Q и будет мгно­венным центром ускорений. В самом деле, известно что

,

где численно . Подставляя сюда значение AQ находим, что . Кроме того, вектор должен образовывать с ли­нией AQ угол , следовательно, вектор параллелен , но направлен в про­тивоположную сторону. Поэтому и .

Если точку Q выбрать за полюс, то так как , ускорение любой точки М тела, будет

.

При этом численно

.

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный мо­мент времени так, как если бы движение фигуры, было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q. При этом

,

т.е. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгно­венного центра ускорений. Картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени показана на рис.46.

Следует иметь в виду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгно­венного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис.47), причем скорость его центра С постоянна ( ), то мгновенный центр скоростей находится в точ­ке Р ( ), но при этом, как было показано ; следовательно, точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений.

Рис.46 Рис.47

 

Мгновенный центр ускорений в этом случае находится, очевидно, в точке С, так как она дви­жется равномерно и прямолинейно и . Центры скоростей и ускорений сов­падают тогда, когда фигура (тело) вращается вокруг неподвижной оси.

Понятием о мгновенном центре ускорений удобно пользоваться при решении некоторых задач.

Пример. Плоский механизм, положение которого определяется углами α, β, γ, φ, θ, состоит из стержней, длины которых равны соответственно l₁=0.4м, l₂=1.2м, l₃=1.6м, l₄=0.6м. Для заданных значений ω₁ и ε₁ найти линейные скорости узловых точек механизма, положения мгновенных центров скоростей звеньев, угловые скорости звеньев, ускорения точек А и В, а также угловое ускорение звена АВ. Схемы механизмов приведены на рис. 6.11. Примечания. Дуговые стрелки на рисунках показывают как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы. Заданные угловые скорости и угловые ускорения считать направленными против хода часовой стрелки. Исходные данные приведены в таблице 6.1.

Механизм, см. рис. 6.12, состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна Е, соединенных между собой и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами. Определить , , , , , , , , , и положение мгновенных центров скоростей звеньев, если дано:

α=0, β=60⁰, γ=30⁰, φ=0, θ=120⁰, ω₁=6с^-1, ε₁=10с^-2, l₁=0.4м, l₂=1.2м, l₃=1.6м, l₄=0.6м.

Решение

Согласно условию задачи вычерчиваем механизм в заданном положении (рис. 6.12). Исходя из направления ω₁, находим направления скоростей точек А, В, Е (показано на чертеже). Восстанавливаем перпендикуляры к скоростям и в точках А и В находим положение мгновенного центра скоростей звена АВ – точка Р₂. Соединив точку D с Р₂ и восстановив перпендикуляр к Р₂D в точке D, находим направление скорости . В точке пересечения перпендикуляров к

скоростям и находится мгновенный центр скоростей звена DE – точка Р₃. Находим теперь линейные скорости точек А, В, D, Е и угловые скорости звеньев ω₂, ω₃, ω₄. Имеем

м/с.

Так как точка А принадлежит и звену 2, то

Из равностороннего треугольника АР₂В следует, что АР₂=ВР₂=АВ, следовательно АР₂=ВР₂=l₂=1.2 м. Тогда

с^-1.

Значит м/с,

м/с.

Однако точка В принадлежит и звену ВО₂, поэтому

,

откуда с^-1.

Точка D принадлежит также звену DE, поэтому

Из равностороннего треугольника DP₃E следует, что

DP₃=EP₃=DE=l₃=1.6 м.

Следовательно с^-1, поэтому линейная скорость точки Е будет м/с.

Найдем ускорения точек А и В и угловое ускорение звена АВ. Учитывая, что ускорение точки А равно

Где м/с²,

м/с²,

значит м/с². Для определения ускорения точки В используем закон распределения ускорений.

,

или ,

где

, направлено перпендикулярно к О₂В,

м/с², направлено от В к О₂,

м/с², направлено перпендикулярно к О₁А,

м/с², направлено от А к О₁, , направлено перпендикулярно к АВ,

м/с², направлено от В к А.

Направление векторов показано на рис. 6.14. Используя метод проекций находим ,

откуда

Значит с^-2.

Проецируя на ось «У» определяем

м/с²

 

Тогда полное ускорение точки В определяется

м/с²

Ответ: м/с; м/с; м/с; м/с; с^-1; с^-1; с^-1; м/с²; м/с²; с^-2.

Таблица 6.1

 

№ вар	№ схемы	Углы, град					ω1 1/c	ε1 1/c2
		α	β	γ	φ	θ
1	1	120	30	30	90	150	6	10
2	2	0	60	90	0	120	4	8
3	3	60	150	30	90	30	5	6
4	4	0	150	30	0	60	3	5
5	5	30	120	120	0	60	2	6
6	6	90	120	90	90	60	4	8
7	1	0	150	90	0	120	6	10
8	2	30	120	30	0	60	7	9
9	3	90	120	120	90	150	5	8
10	4	60	60	60	90	30	3	7
11	5	120	30	30	90	150	2	6
12	6	0	60	90	0	120	4	5
13	1	60	150	30	90	30	6	4
14	2	0	120	30	30	60	3	5
15	3	30	120	150	30	60	5	6
16	4	90	150	120	60	150	2	7
17	5	0	150	90	0	120	3	8
18	6	30	120	30	0	60	4	9
19	1	90	120	120	90	150	5	10
20	2	60	60	60	90	30	6	9
21	3	120	30	30	90	150	7	8
22	4	30	60	90	0	120	6	7
23	5	60	120	30	90	30	5	6
24	6	30	120	30	30	60	4	5
25	1	30	120	150	30	60	3	4
26	2	90	150	120	60	150	2	5
27	3	0	120	90	30	120	3	6
28	4	30	120	30	30	60	4	7
29	5	90	120	120	90	150	5	8
30	6	60	60	60	90	30	6	9