2.2. Решение примера

Найти величины опорных реакций и усилия в сочленении для конструкции, изображенной на рисунке 3. Дано: размеры элементов конструкции из трех элементов, внешняя нагрузка, на них действующая.

Решение. Для каждого из элементов конструкции изобразим силовую схему (см рис.4.а,б,в) и составим уравнения равновесия. Заметим, что конструктивное устройство сочленения элементов не позволяет им поворачиваться в плоскости и двигаться по вертикали; в таком случае при освобождении элемента из сочленения к нему следует приложить неизвестные момент и вертикальную силу. Реакции остальных опор обсуждены выше.

Элемент 1 - прямой стержень АD:

Элемент 2 - прямой стержень BD:

Элемент 3 – Г –образный стержень ЕD:

Замечание: равномерно распределенная по длине нагрузка интенсивностью заменена равнодействующей силой , приложенной на середине длины .

Элемент 4 - узел D:

Получена замкнутая система их 11 уравнений с 11 неизвестными.

Заметим, что при сопряжении двух элементов обычно равновесие узла не рассматривают, а руководствуются аксиомой о равенстве сил действия и противодействия.

В вариантах, где в точке сочленения элементов конструкции находится шарнир (поворот возможен, смещение в двух ортогональных направлениях не возможно), силовые схемы элементов и узла D должны быть откорректированы соответствующим образом.

С решением подробных примеров можно ознакомиться, например, в [2,4,5].

Задание 3. Определение положения центра тяжести пластины

3.1. Краткие сведения из курса механики

Модуль равнодействующей сил весов элементов называется весом твердого тела, а геометрическая точка приложения равнодействующей – центром тяжести твердого тела (обычно ее обозначают буквой С). В общем случае для вычисления этих величин используются формулы

(12)

(13)

где - объем твердого тела, - удельный вес в точке с соответствующими координатами.

Величина, стоящая в числителе формулы (13), называется статическим моментом веса твердого тела относительно координатной плоскости . Структура формул для вычисления и аналогичная.

Очевидно, что для однородного тела формула (13) принимает вид

(14)

Структура формул для вычисления и аналогичная.

В этом случае центр тяжести твердого тела совпадает центром его объема.

Если один из размеров твердого тела существенно меньше двух других, тело называют тяжелой поверхностью. При неизменном весе единицы площади поверхности она является однородной. Формулы для вычисления веса и координат центра тяжести получаются из (12) – (14) заменой интегралов по объему на интегралы по поверхности. В некоторых случаях поверхность может быть плоской.

Если два размера твердого тела существенно меньше третьего, тело называют тяжелой линией. При неизменном весе единицы длины линии она является однородной. Формулы для вычисления веса и координат центра тяжести получаются из (12) – (14) заменой интегралов по объему на криволинейные интегралы. В некоторых случаях линия может быть прямой.

Если однородное твердое тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости (сумма статических моментов элементарных сил веса относительно плоскости симметрии равна нулю).

Если твердое тело может быть представлено в виде совокупности из n элементов, для каждого из которых может быть определен (например, по справочнику) вес и координаты его точки приложения, в формулах (12)-(13) интегралы могут быть заменены соответствующими суммами:

(15)

(16)

Структура формул для вычисления и аналогичная.

Заметим, что в этом случае вырезы могут быть трактованы как элементы отрицательного веса, а суммы в (15) и (16) оказываются алгебраическими.

Более подробно с материалом можно ознакомиться, например, в [1,3,5].