4.1.3. Теорема об изменении кинетической энергии

Запишем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

(30)

– производная по времени от кинетической энергии механической системы равна мощности всех действующих сил (внешних и внутренних, либо активных (задаваемых) и реакций связей).

В дифференциальной форме, основанной на понятии работы силы за элементарный промежуток времени, получим

(31)

Интегрируя (31) на интервале времени [0; ], получим интегральную форму записи теоремы об изменении кинетической энергии

(32)

В частном случае, когда для совокупности внешних и внутренних сил системы можно записать выражение потенциальной энергии

,

вместо (31) имеем соотношение

(33)

В такой системе выполняется закон сохранения полной механической энергии

,

а сама система называется консервативной.

Заметим, что хотя теорема об изменении кинетической энергии позволяет составить для механической системы только одно уравнение, этого уравнения оказывается вполне достаточно для исследования движения многих систем с одной степенью свободы.

В случае, когда связи между телами механической системы не деформируются (например, нити не растягиваются и не провисают), мощность (работа) внутренних сил действия и противодействия равна нулю, а выражения (30), (31) и (32) приобретают более простой вид.

В случае наличия идеальных связей (мощность (работа) их реакций равна нулю), выражения (30), (31) и (32) так же приобретают более простой вид.

Более подробно с материалом можно ознакомиться, например, в [1, 3, 4].

4.2. Пример решения задания

Для механической системы, изображенной на Рис. 4, получить дифференциальное уравнение движения груза.

Решение. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме (30). Мысленно освободимся от связей, приложив к телам механической системы соответствующие реакции (Рис. 4).

Составим выражение для кинетической энергии механической системы:

.

Запишем уравнения кинематических связей:

или ;

или ;

или .

При записи учтено, что мгновенный центр скоростей диска, катящегося без скольжения, расположен в точке его соприкосновения с плоскостью.

В формулу для кинетической энергии подставим угловые скорости вращения соосных блоков, диска и скорость центра масс диска, выраженные через скорость первого груза; тогда

.

При получении результата учтено, что осевой момент инерции однородного диска .

Продифференцировав выражение для кинетической энергии по времени, получим левую часть равенства (29):

.

Отметим, что в рассматриваемой системе внутренние связи не деформируемы, поэтому мощность внутренних сил должна быть равна нулю. Точка приложения опорных реакций соосных блоков неподвижна, а точка приложения опорных реакций диска является его мгновенным центром скоростей; очевидно, что эти связи идеальны.

Запишем выражение для мощности действующих сил:

при записи учтено, что сила сопротивления демпфера , а момент трения качения .

В выражение для мощности подставим скорость центра диска, выраженную через скорость первого груза, и вынесем последнюю за общие скобки; тогда

.

Приравняем выражения для левой и правой частей равенства (29) и сократим их на . Перенесем переменные величины в левую часть равенства и поделим все слагаемые на постоянный коэффициент при ускорении первого груза. Окончательный вид искомого дифференциального уравнения будет

,

где .

Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения было получено выше.

С решением подобных примеров можно ознакомиться, например, в [2, 3, 4].