10. Интегрирование по частям:

Интегрирование по частям. Если , - дифференцируемые функции, то справедлива формула .

С помощью этой формулы вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , если последний окажется проще исходного

Методы интегрирования функции сводятся к указанию приемов, приводящих данный интеграл к табличному. Необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.

Для того чтобы проверить правильно ли найден интеграл, необходимо найти производную от получившейся функции и получить подынтегральное выражение.

При вычислении интегралов часто используется формула .

Пример 1.

.

Пример 2.

В этих примерах также можно использовать метод замены переменной.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и , затем, после нахождения и , используется формула интегрирования по частям.

Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

1. Интегралы вида , , , где – многочлен, k – число. Удобно положить , а за обозначить все остальные сомножители.

2. Интегралы вида , , , , . Удобно положить , а за обозначить остальные сомножители.

3. Интегралы вида , , где а и b – числа. За можно принять функцию .

При нахождении интегралов (а-г) используется непосредственное интегрирование. Интегралы (б-г) также можно найти методом замены переменной. Интеграл (е) находится интегрированием по частям.

11. Дифференциальное уравнение. Общее и частное решения

Дифференциальным уравнением (далее ДУ) называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и её производные или дифференциалы:

. (1.1)

Решением ДУ называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением ДУ называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением ДУ называется решение, полученное из общего при различных числ Общим решением ДУ первого порядка называется функция вида , которая содержит произвольную постоянную . (может случиться, что изменяется лишь в некоторых пределах). Если общее решение задается неявно, т.е. равенством вида , то оно называется общим интегралом ДУ.

Придавая произвольной постоянной определенные допустимые числовые значения, будем получать частные решения, определяемые заданным начальным условиям.

Обычно начальное условие ДУ Iпорядка задается указанием пары соответствующих друг другу значений независимой переменной и функции . Записывается это так:

или .

12. Ду первого порядка с разделёнными переменными.

ДУ с разделёнными переменными называется уравнение вида (из Методички)

. (1.2)

Дифференциальные уравнения   называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Будем считать, что функции f(y) и g(x) непрерывны.

Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство  . Если интегралы из этого равенства выражаются в элементарных функциях, то мы можем получить общее решение дифференциального уравнения как неявно заданную функцию Ф(x, y) = 0, а иногда получается выразить функцию y в явном виде. (из Internet)