Раздел 1 Математический анализ

Теоретические вопросы:

1. Производная функции.

2. Таблица производных.

3. Производная сложной функции.

4. Производные высших порядков.

5. Частные производные.

6. Дифференциал функции.

7. Интеграл функции.

8. Таблица интегралов.

9. Интегрирование методом замены.

10. Интегрирование по частям.

11. Дифференциальное уравнение. Общее и частное решения.

12. ДУ первого порядка с разделёнными переменными.

13. ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.

14. Линейные ДУ первого порядка.

15. Уравнение Бернулли.

16. Однородные ДУ.

17. Уравнение в полных дифференциалах.

18. ДУ высших порядков.

19. Дифференциальные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

1. Производные функции

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при , если этот предел существует:

. (1.1)

Функция , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Для производной функции употребляются следующие обозначения: , , , .

Нахождение производной называется дифференцированием.

Правила дифференцирования:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

2. Таблица производных

Таблица основных производных:

Таблица 1

С-постоянная	0
	1
				-
				-

3. Производная сложной функции.

Производной второго порядка функции называется производная от её производной, т.е.

20. . (1.2)

Производную от второй производной называют производной третьего порядка.

В общем случае производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка: .

Пусть и , тогда – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу:

21. . (1.3)

1. Найдём производную функции , используя формулу (1.3). Данная функция не является элементарной. Полагая , получим . Находим .

Производная в точке. Для вычисления производной функции в точке нужно в выражение производной вместо переменной подставить значение . В итоге должно получиться число.