1.9. Формулы полной вероятности и Байеса

Во многих случаях интересующее нас событие может произойти только вместе с одним из событий , . Например, рассмотрим такой опыт. В холле МИЭТ остановили случайно встреченного студента, проверили, знает ли он аксиомы теории вероятностей. Событие {выбранный студент знает аксиомы} может произойти только вместе с одним из событий {выбранный студент учится на -м курсе}, .

Отметим, что множество событий в этом и подобных случаях обладает такими свойствами:

а) в каждом опыте (например, по случайному выбору студента) обязательно происходит какое-либо из событий , т.е.

(в этом случае говорят, что - полная группа событий);

б) события попарно несовместны:

.

Итак, пусть в случайном опыте событие может произойти только вместе с одним из событий , , образующих полную группу попарно несовместных событий ( называют гипотезами). Тогда справедливо равенство

(1.9.1)

(формула полной вероятности).

◄Представим в виде , см. рис. 1.9.1. Поскольку , то и события , попарно несовместны, поэтому с учётом аксиомы сложения имеем:

. (1.9.2)

Рис. 1.9.1. К доказательству формулы полной вероятности

Далее, используя формулу умножения вероятностей (1.7.4), запишем: , , откуда с учётом (1.9.2) получаем (1.9.1).►

Пример 1.9.1.

На трёх заводах производятся однотипные изделия. В магазин поступило 50 изделий с первого завода, 20 изделий – со второго завода и 30 изделий –с третьего завода. Брак в общем количестве изделий, производимых на первом заводе, составляет 1%, на втором заводе – 2% и на третьем заводе – 3%. В магазине наудачу выбрано одно изделие для покупки. С какой вероятностью это изделие является бракованным?

◄Введём обозначения: ={выбрано бракованное изделие}, {выбранное изделие изготовлено на -ом заводе}, . Очевидно, гипотезы - составляют полную группу попарно несовместных событий.

Согласно условию задачи, вероятности гипотез равны: , , , а условные вероятности события равны: , , .

По формуле полной вероятности (1.9.1) находим: .►

Замечания

1. В примере 1.9.1 формулу полной вероятности можно интерпретировать следующим образом: вероятность брака в магазине равна взвешенной сумме вероятностей брака на заводах с весами, равными долям, которые составляют поставки заводов в общем количестве изделий в магазине.

2. Формула (1.9.1) справедлива, если введённые в рассмотрение гипотезы образуют полную группу попарно несовместных событий. Поэтому при решении задач желательно убеждаться, в том, что .

Однако в некоторых случаях полная группа гипотез может содержать большое число событий , при этом для многих из них оказывается, что , т.е. вклада в правую часть формулы (1.9.1) такие гипотезы не вносят. В таких случаях целесообразно сократить число рассматриваемых гипотез, оставив только те из них, для которых . При этом, хотя множество гипотез и не будет полной группой, формула полной вероятности даст верный результат.

Пример 1.9.2.

Четыре артиллерийских расчёта производят по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность попадания для -го расчёта равна , . При менее, чем трёх попаданиях цель поражена не будет. При трёх попаданиях цель будет уничтожена с вероятностью , а при четырёх попаданиях – с полной достоверностью. Найти вероятность того, что цель будет уничтожена (событие ).

◄Полная группа гипотез в данном случае совпадает с пространством элементарных исходов. Перечислим гипотезы, обозначив их , где - индикатор попадания для -го расчёта, т.е. :

{0 0 0 0}

{1 0 0 0}, {0 1 0 0}, {0 0 1 0}, {0 0 0 1}

{1 1 0 0}, {1 0 1 0}, {1 0 0 1}, {0 1 1 0}, {0 1 0 1}, {0 0 1 1}

{1 1 1 0}, {1 1 0 1}, {1 0 1 1}, {0 1 1 1}

{1 1 1 1}

Итак, полная группа гипотез состоит из 16 событий. Но свойством обладают только 5 из них, поэтому вводим в рассмотрение только такие гипотезы: {1 1 1 0}, {1 1 0 1}, {1 0 1 1}, {0 1 1 1}, {1 1 1 1}.

Далее, находим:

, , , , ;

, .

Окончательно, по формуле (3.3.1) получаем:

.►

Упражнения

1.9.1. В одной урне – 1 белый и 3 чёрных шара, во второй – 2 белых и 2 чёрных шара. Наудачу выбирают урну, из которой наудачу вынимают шар. С какой вероятностью этот шар белый?

1.9.2. В первой урне были: 1 белый и 3 чёрных шара, во второй – 2 белых и 2 чёрных шара. Из первой урны наудачу вынули шар и переложили его во вторую урну, после чего из второй урны извлекли наудачу один шар. С какой вероятностью этот шар белый?

1.9.3. Проверяется партия приборов, среди которых 10% дефектных. Проверка с вероятностью 0,95 позволяет обнаружить дефект, если он есть. Если же дефекта нет, то с вероятностью 0,03 прибор ошибочно признаётся неисправным. С какой вероятностью проверяемый прибор будет признан дефектным?

Ответы к упражнениям

1.9.1. .

1.9.2. .

1.9.3. 0,122.

Задание для самостоятельной работы

1. Решите задачи: [1], №№ 18.225 – 18.229, 18.231 –18.234.

Пусть по-прежнему в случайном опыте событие может произойти только вместе с одной из гипотез , , образующих полную группу попарно несовместных событий. Предположим, что событие произошло и мы интересуемся, с какой вероятностью вместе с появилась и гипотеза . На этот вопрос отвечает формула Байеса:

. (1.9.3)