1.8. Независимость событий Условная вероятность может отличаться от безусловной вероятности события (см. Пример 1.7.1) или совпадать с ней.

Пример 1.8.1.

Из колоды в 36 карт наудачу берут одну карту. События: {взят туз}, {взята карта бубновой масти}.

Найти и .

◄По формуле классической вероятности находим: ; ; . Поэтому .

Итак, , т.е. условная и безусловная вероятности события совпадают.►

Таким образом, наступление события может влиять или не влиять на вероятность события . Поэтому степень связи (зависимости) событий и естественно оценивать путём сравнения их условных вероятностей с безусловными.

Говорят, что событие не зависит от события , если

(1.8.1)

и наоборот, событие не зависит от события , если

(1.8.2)

(предполагается, что , ).

Замечания

1. Оказывается, что свойство независимости событий – взаимно, т.е. если событие не зависит от события , то и наоборот: событие не зависит от события . Поэтому говорят о взаимной независимости или просто независимости событий и , если выполняется одно из соотношений (1.8.1) или (1.8.2).

◄Пусть событие не зависит от события , т.е. выполняется (1.8.2). Тогда с учётом теоремы умножения (3.1.6) получаем: , откуда, после сокращения на , имеем: . Это означает, что, событие не зависит от события .►

2. Из проведённых только что выкладок следует: если события и независимы, то

. (1.8.3)

Верно и обратное: из (1.8.3) следует независимость событий и (убедитесь!). Поэтому используют и эквивалентное определение независимости событий: события и называются независимыми, если . В этом определении отсутствует требование , .

Пример 1.8.2.

Пусть события и независимы. Покажем, что тогда независимыми являются и события и .

◄Условная вероятность обладает всеми свойствами безусловной, поэтому и с учётом (1.8.1) имеем: , что означает независимость событий и .►

Упражнения

1.8.1. Докажите, что если события и независимы, то и события и являются независимыми.

1.8.2. Убедитесь в том, что если и - несовместные события с ненулевыми вероятностями, то они зависимы.

1.8.3. Если события и совместны, то они могут быть и зависимыми и независимыми. Приведите примеры, иллюстрирующие это утверждение.

1.8.4. Если и - зависимые события, то они могут быть и совместными, и несовместными. Проиллюстрируйте это примерами.

Замечание

Как распространить понятие независимости двух событий на набор из событий? Смысл независимости двух событий и состоит в том, что появление одного из них не влияет на вероятность другого. Естественно считать независимыми события , если вероятность каждого из этих событий не зависит от того какие из остальных событий и в каком количестве произошли. При этом независимость событий при называют независимостью в совокупности.

Итак, события , называют независимыми в совокупности, если для любого набора из этих событий ( ; ) выполняется равенство

. (1.8.4)

В частности, для событий , независимых в совокупности,

. (1.8.5)

Формула (1.8.5) обобщает равенство (1.8.3) и является частным случаем формулы вероятности произведения событий (1.7.7): она соответствует событиям , независимым в совокупности.

Замечание

Если события независимы в совокупности, то они и попарно независимы, т.е. для любых , . Обратное, вообще, говоря, не верно, т.е. попарно независимые события могут и не быть независимыми в совокупности.

Упражнения

1.8.5. Опыт состоит в бросании двух правильных монет и наблюдении выпавших сторон этих монет. События: {на первой монете выпал герб}, {на второй монете выпал герб}, {на двух монетах выпал ровно один герб}.

Убедитесь в том, что события попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

1.8.6. Приведите свой пример трёх попарно независимых событий, не являющихся независимыми в совокупности.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение условной вероятности и объясните его в рамках классической и геометрической схем.

2. Сформулируйте три основные свойства условной вероятности.

3. Сформулируйте теорему умножения.

4. Запишите формулу вероятности произведения событий.

5. Сформулируйте два определения независимости событий.

6. Какие события называют независимыми в совокупности?

7. Запишите формулу вероятности произведения событий, независимых в совокупности.

Задание для самостоятельной работы

1. Решите задачи: [1], №№ 18.163 – 18.167, 18.176 –18.179, 18.182 – 18.186.