1.2. Случайные события, действия над ними

Любое подмножество пространства элементарных исходов будем называть случайным событием. Заметим, что при математически строгом подходе это определение должно быть уточнено, если не является конечным или счётным множеством. Однако такое уточнение необходимо лишь для построения теории вероятностей как раздела современной математики, оперирующей логически безупречными, но зачастую сложными для неподготовленного читателя понятиями. К тому же подмножества пространства , не являющиеся, строго говоря, событиями, представляют собой чистую математическую абстракцию и не встречаются в практических задачах. Поэтому в дальнейшем любое подмножество из мы будем рассматривать как случайное событие или просто событие.

Считается, что событие произошло (наступило, реализовалось), если результатом случайного опыта явился какой-либо из элементарных исходов, входящих в подмножество .

Пример 1.2.1.

В примере 1.2.1 показано, что при бросании одной игральной кости . Рассмотрим события: {выпало 3 очка}, {число очков кратно трём}, {число очков нечётно}, {число очков не меньше двух}.

◄Очевидно, , , ,

.►

Пример 1.2.2.

В примере 1.1.4 рассмотрен опыт, связанный со стрельбой по бесконечной плоской мишени. В этом случае пространство элементарных исходов . Введём декартову прямоугольную систему координат с началом в центре мишени и единицей масштаба по осям 1 см. Тогда событие {расстояние от точки попадания до центра мишени не превосходит 10 см} представляет собой подмножество пространства .

Задание для самостоятельной работы

1. Решите задачи: [1], №№ 18.1 – 18.8.

Опишем основные понятия, связанные со случайными событиями.

Для иллюстрации этих понятий будем использовать события, соответствующие случайному опыту из примера 1.2.1 (бросание одной правильной шестигранной игральной кости). В этом случае элементарными являются исходы {выпало очков}, .

1. Событие , состоящее из всех элементарных исходов, соответствующих данному случайному опыту, называется достоверным событием. Таким образом, достоверное событие обязательно происходит в данном опыте.

.

2. Событие , не содержащее ни одного элементарного исхода, называется невозможным событием. Очевидно, невозможное событие никогда не происходит в данном опыте.

{выпало 10 очков}= – невозможное событие, т.к. не существует элементарных исходов данного опыта, приводящих к появлению события А.

3. Событие влечёт за собой событие (обозначение: ), если любой элементарный исход, входящий в , принадлежит и событию . Таким образом, если , то при каждом появлении события происходит и событие .

Если и , то и называют эквивалентными событиями и пишут .

, {выпало нечётное число очков}= .

4. Суммой событий и называется событие , состоящее из тех элементарных исходов, которые входят хотя бы в одно из подмножеств или . Итак, событие происходит тогда и только тогда, когда появляется хотя бы одно из событий или В.

, .

5. Произведением событий и называется событие , состоящее из тех и только тех элементарных исходов, которые принадлежат и подмножеству , и подмножеству , т.е. событие происходит тогда и только тогда, когда события и появляются вместе.

, .

6. Разностью событий и называется событие , состоящее из тех элементарных исходов, которые входят в подмножество , но не принадлежат подмножеству . Таким образом, событие происходит тогда и только тогда, когда происходит событие , но не происходит событие .

, .

7. События и называются несовместными событиями, если не существует элементарных исходов, принадлежащих подмножествам и одновременно. Другими словами, события и несовместны, если их одновременное появление невозможно, т.е. . В противном случае события и называют совместными.

, и несовместны, .

8. Событие , состоящее из всех элементарных исходов, не входящих в подмножество , называют противоположным к событию . Таким образом, есть событие, состоящее в том, что событие не произошло.

.

Для наглядного представления множеств и событий используют диаграммы Венна. На них пространство изображается в виде прямоугольника, в котором каждая точка соответствует элементарному исходу. События (подмножества) изображаются в виде областей этого прямоугольника.

Таблица 1.2.1

Наименование операции	Для множеств	Для событий	Диаграмма Венна
АВ - отношение следования	Множество А есть подмножество множества В	Событие А влечет за собой событие В: если произошло А, то появляется и В
А+В - сумма	АВ–объединение множеств А и В	Сумма событий - произошло хотя бы одно из событий А или В
АВ – произведение	AB - пересечение множеств А и В	Произведение событий - события А и В произошли вместе
А-В - разность	A \ B - разность множеств А и В	Разность cобытий - произошло событие А, но не произошло В
- отрицание	дополнение множества А до пространства	Противоположное событие - событие А не произошло

Предположим, что опыт состоит в случайном выборе точки в прямоугольнике. Тогда, если выбранная точка попадает в изображённую на диаграмме область, то происходит соответствующее событие. Соответствие некоторых операций над событиями и множествами показано в табл. 1.2.1.

Рассмотрим свойства операций над событиями.

1. Коммутативность сложения и умножения:

; .

2. Ассоциативность сложения и умножения:

; .

3. Дистрибутивность:

а) умножения относительно сложения

; (1.2.1)

б) сложения относительно умножения

. (1.2.2)

Свойство (1.2.1) позволяет «раскрывать скобки», как в обычной алгебре действительных чисел, а из (1.2.2) следует, что свойства операций сложения и умножения для чисел и событий различаются.

Пример 1.2.3.

Докажем соотношение (1.2.1).

◄Пусть элементарный исход . Это означает, что и принадлежит хотя бы одному из событий или . Поэтому принадлежит хотя бы одному из событий или , т.е. . В силу произвольности это означает, что

. (1.2.3)

Предположим теперь, что . Тогда и, кроме того, принадлежит хотя бы одному из событий или , т.е. принадлежит сумме . Это значит, что и, в силу произвольности исхода , получаем:

. (1.2.4)

Из соотношений (1.2.3) и (1.2.4) следует (1.2.1).►

Упражнения

1.2.1. Убедитесь с помощью определений, что:

а) ;

б) ;

в) .

1.2.2. Докажите простейшие законы поглощения:

; ; = ; = ; ; .

1.2.3. Пусть . Означает ли это, что ? Ответ обосновать.

1.2.4. Верны ли соотношения:

а) ;

б) ? Ответ обоснуйте.

1.2.5. Докажите правила де Моргана:

а) (отрицание суммы есть произведение отрицаний);

б) (отрицание произведения есть сумма отрицаний).

1.2.6. Используя результат упражнения 1.2.5, докажите правила де Моргана для трёх событий:

а) ;

б) .

Замечание. Методом математической индукции можно доказать правила де Моргана для любого конечного числа событий:

(1.2.5)

1.2.7. Проиллюстрируйте диаграммами Венна:

а) свойства дистрибутивности (1.2.1) и (1.2.2);

б) правила де Моргена для двух событий.

Пример 1.2.4.

Докажем дистрибутивность сложения относительно умножения (1.2.2).

◄Преобразуем левую часть соотношения (1.2.2) используя (1.2.1):

, что и требовалось доказать.►

Пример 1.2.5.

Докажем, что , т.е. вычитание событий не является ассоциативной операцией.

◄Преобразуем левую часть этого соотношения с учётом (1.2.2): .►

Пример 1.2.6.

Пусть . Покажем, что тогда .

◄Из условия следует, что (убедитесь!). Поэтому .►

Пример 1.2.7.

Покажем, что если , то .

◄Пусть элементарный исход . Тогда по определению произведения событий , поэтому .

Далее, если , то при условии имеем: , т.е. , откуда следует, что .

Итак, и , значит .►

Упражнения

1.2.8. Покажите, что если , то .

1.2.9. Доказать: если , то .

1.2.10. Доказать, что если если , то .

Замечание: из примера 1.2.6 и упражнений 1.2.7 – 1.2.9 получаем важный результат:

;

1.2.11. Доказать: если , то .

1.2.12. Доказать, что .

Ответы к упражнениям

1.2.3. Нет.

1.2.4. Нет.

Контрольные вопросы

1. Что называют пространством элементарных исходов?

2. Что называется случайным событием?

3. Какие события называются достоверным событием и невозможным событием?

4. В каких случаях говорят, что событие влечёт за собой событие и что события и эквивалентны?

5. Перечислите известные Вам алгебраические операции над случайными событиями и сформулируйте определения этих операций.

6. Какие два события называют несовместными?

7. Какие события называются противоположными?

8. Перечислите известные Вам свойства операций над событиями.

9. Обладает ли вычитание событий свойствами коммутативности и ассоциативности?