5. Символьні матричні перетворення
Останні версії пакету Мathcad мають досить широкі можливості щодо розв’язування задач лінійної алгебри в символьному вигляді. Символьні перетворення матриць здійснюються за допомогою операції символьних обчислень (Symbolic Evalution) (символ «→»), яку можна активізувати, наприклад, за допомогою палітри символьних перетворень (Symbolic) або комбінації клавіш «Ctrl»«+».” (рис. 7). Крім того, символьні перетворення матриць можна виконувати за допомогою наступних дій: Symbolics\Evaluate\Symbolically (комбінація клавіш «Shift»+«F9»).
Рис. 7. застосування символьних перетворень матриці
Іі. Завдання до лабораторної роботи
1. Ознайомитися з теоретичним матеріалом. Виконати перетворення подані на рис. 1-7.
2. Обчислити визначники 2-го та 3-го порядків:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
;
3. Розв’язати рівняння та нерівності:
1)
|
|
2)
|
4. Виконати дії:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
;
;
;
.
5. Представити матрицю А у вигляді суми симетричної та кососиметричної матриць:
1)
;
2)
.
П р и м і т к а. Квадратна
матриця А називається симетричною,
якщо вона дорівнює транспонованій до
неї матриці, тобто
,
і кососиметричною, якщо вона дорівнює
транспонованій до неї матриці, яка взята
з протилежним знаком, тобто
.
Причому, довільну квадратну матрицю
можна записати у вигляді суми симетричної
і кососиметричної матриць А=S+K, де
симетрична матриця знаходиться за
формулою
,
а кососиметрична
.
6. Дослідити системи на сумісність, використовуючи критерій Кронекера-Капеллі. Якщо система сумісна, то знайти її розв’язок:
1)
|
2)
|
7. Розв’язати системи лінійних рівнянь:
методом Гауса;
методом Крамера;
матричним методом.
1)
|
2)
|
З’ясувати чи задані системи рівнянь погано обумовлені чи ні.
П р и м і т к а. Якщо
числа d
і
D
відповідно найменше і найбільше власні
значення матриці системи, то при
(тобто коли вони мало
відрізняються по модулю одне від одного)
вважається, що матриця і відповіно
система рівнянь добре обумовлена. Якщо
ж
,
то вважається,
що матриця і відповідно система рівнянь
погано обумовлена.
8. Підготувати звіт про виконання завдань 1-7 та індивідуального завдання.
9. Підготуватися до самостійної роботи з теми «Розв’язування задач лінійної алгебри за допомогою пакету Mathcad”.
Ііі. Індивідуальні завдання
Завдання 1. Обчислити визначник, використовуючи символьні перетворення:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
Завдання 2. Знайти невідому матрицю з рівняння:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
Завдання 3. Знайти ранг матриці:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
Завдання 4. Дослідити систему лінійних рівнянь на сумісність і розв’язати її:
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
|
|
Завдання 5. Розв’язати систему лінійних рівнянь:
а) за методом Крамера;
б) матричним способом;
в) методом Гаусса.
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
З’ясувати чи задані системи рівнянь погано обумовлені чи ні.