І. Теоретичний матеріал

До обчислення певних інтегралів зводяться багато практичних завдань фізики, хімії, екології, механіки та інших природничих наук. На практиці взяти інтеграл аналітично не завжди вдається. У цьому випадку використовуються методи чисельного інтегрування. У даній лабораторній роботі розглядаються методи Ньютона-Котеса, зокрема методи прямокутників, трапецій і Сімпсона (парабол). Крім того, в лабораторній роботі розглядаються способи аналітичного і чисельного відшукання інтегралів засобами MatLab.

Обчислювальні формули для всіх розглянутих методів наведені в додатку, теоретичний матеріал слід вивчати за матеріалами лекцій та рекомендованої літератури. Тут же будуть розглянуті практичні аспекти реалізації методів чисельного інтегрування в MatLab.

Вам слід уважно вивчити і виконати наведені тут приклади, може бути для функцій з ваших варіантів завдань.

1. Аналітичне інтегрування засобами MatLab.

У лабораторній роботі, основним завданням якої є дослідження методів чисельного інтегрування, в деяких випадках для відшукання похибки результатів потрібно точні значення інтегралів. Тобто ці величини необхідно визначити аналітично.

Для обчислення визначених і невизначених інтегралів в MatLab використовується функція int.

Синтаксис:

Виклик	Опис
int(S)	Обчислюється невизначений інтеграл від функції S по її символьній змінній, визначеної в syms.
int(S,v)	Обчислюється невизначений інтеграл від функції S по її символьній змінній v, визначеної в syms.
int(S,a,b)	Обчислюється визначений інтеграл від a до b функції S по її символьній змінній, визначеної вsyms. A і b можуть бути змінними символьного або дійсного типу.
int(S,v,a,b)	Обчислюється визначений інтеграл від a до b функції S по її символьній змінній v, визначеної вsyms. A і b можуть бути змінними символьного або дійсного типу.

Приклад використання функції int. У даному прикладі підінтегральна функція задається явно.

Рис. 1. Приклад використання функції int

Рис. 2. Графік підінтегральної функції

Зверніть увагу на форматування графіка в тексті програми. В наступному прикладі підінтегральна функція та змінна інтегрування задаються символьно.

Зверніть увагу, що в даному прикладі для побудови графіка використовується m - файл f.m:

Це пов’язано з тим, що аргументом функції fplot не може виступати сумвольна функція.

Графік функції. що інтегрується.

2. Аналітичне диференціювання засобами MatLab

У лабораторній роботі, основним завданням якої є дослідження методів чисельного інтегрування, для відшукання теоретичної похибки результатів потрібне знання похідною від інтегрованої функції до четвертого порядку включно.

Для обчислення похідних аналітично в MatLab використовується функція diff.

Синтаксис:

Викликзов	Опис
diff(S)	Обчислюється аналітичний вираз для похідної від функції S, заданої символьно.
diff(S,n)	Обчислюється аналітичний вираз для похідної від функції S порядку n.

Приклад використання функції diff при обчисленні максимуму другої похідної на відрізку [a, b]

Графік похідної: