5. Чисельне рішення нелінійних рівнянь

Задача знаходження коренів нелінійних рівнянь зустрічається в різних областях науково-технічних досліджень. Проблема формулюється таким чином. Нехай задана безперервна функція f(x) і потрібно знайти корінь рівняння

f (x) = 0.

Припустимо, що мається інтервал зміни х [a; b], на якому необхідно досліджувати функцію f(x) і знайти значення х0, при якому f (x0) дорівнює або вельми мало відрізняється від нуля.

Дане завдання в системі MatLab може бути вирішена наступним чином. Спочатку необхідно побудувати графік функції f (x) на заданому інтервалі і переконатися в існуванні кореня або декількох коренів. Потім застосувати програми пошуку коренів. Якщо існує один корінь і графік f (x) перетинає вісь ох, то можна застосувати програму fzero. Програма fzero використовує відомі чисельні методи: поділ відрізка навпіл, січну і зворотнє квадратичне інтерполювання.

Завдання. Знайти корінь нелінійного рівняння 10х + 2х - 100 = 0 на відрізку [1.5; 2.5].

Рис. 16. Знаходження кореня нелінійного рівняння

З’являється вікно з графіком функції 10х + 2х - 100, з якого випливає, що корінь функції на заданому інтервалі існує. Для точного визначення кореня застосовуємо функцію fzero (рис. 17).

Рис. 17. Приклад використання функції fzero

Природно, що для роботи даної програми нам знадобиться m-функція:

Рис. 18. Виклик m-функції

Результат: X = 1.9824

У більш загальному випадку функція fzero () має такі реалізації:

fzero ('f (х)', х)

fzero ('f (х)' [xl, х2])

Тут прийняті наступні позначення:

'f (х)' – вирішуване рівняння, взяте в одиночні лапки;
х - початкове наближення (значення) шуканого кореня;
[x1, х2] – область ізоляції кореня.

Наприклад, для вирішення даного завдання ми могли б написати

X = fzero ('10. ^ X + 2. * x - 100.0 ', 2)

Очевидно, що в даному випадку файл-функція не потрібна.

Іі. Задания до лабораторної работи

1. Прочитати теоретичний матеріал лабораторної роботи.

2. Виконати рис. 1-17.

3. Виконати зазначені завдання в теоретичних відомостях.

4. Виконати індивідуальні завдання.

5. Підготувати звіт про виконання завдань та надіслати до СПДН ФІТІС http://ias.cdtu.edu.ua/moodle19-fitis/

Ііі. Індивідуальні завдання

Побудувати графік з метою знаходження відрізка локалізації, на якому знаходиться тільки один корінь, і знайти даний корінь нелінійного рівняння на прикладі матеріалу, викладеного в пункті 4.