6. Екстраполювання функцій

Інтерполяційні формули застосовуються для знаходження значень функції для проміжних значень аргументів, відсутніх у таблиці. Проте за цими формулами можна знаходити і значення функцій для значень аргументі, що розташовані за межами таблиці.

Знаходження значень функції y=f(x) для значень аргументу x, що розташовані за межами таблиці, називається екстраполюванням або екстраполяцією.

Операція екстраполювання, взагалі кажучи, менш точна, ніж операція інтерполювання, і її слід застосовувати тоді, коли:

• функція біля кінців таблиці змінюється плавно;

• відстань від кінців таблиці, на якій екстраполюють, невелика (менша ніж відстань між сусідніми вузлами).

Приклади екстраполювання вперед і назад подано на рис. 4 і 5.

Рис. 4. Екстраполювання вперед

Р ис. 5. Екстраполювання назад

7. Засоби інтерполювання функцій в системах комп’ютерної математики

Системи комп’ютерної математики мають відповідні функції для побудови інтерполяційних многочленів. Зокрема на рис. 6. показано як здійснюється інтерполяція функції однієї змінної в СКМ Mathcad.

Рис. 6. Інтерполювання засобами пакету Mathcad

Іі. Завдання до лабораторної роботи

1. Самостійна робота.

2. Для заданої задачі побудувати математичну модель і розв’язати її чисельно за допомогою пакету Mathcad та графічно за допомогою програми Extremum:

На виготовлення двох видів продукції П₁ і П₂ витрачаються три види ресурсів А₁, А₂ і А₃. Запаси ресурсів, норми їх витрат і прибуток від реалізації одиниці продукції задані у таблиці. Знайти такий план виробництва, який би забезпечував найбільший прибуток.

Варіант 1

Ресурси	Норми витрат на одиницю продукції (кг)		Запаси (кг)
	П1	П2
А1	14	15	500
А2	2	1	60
А3	6	11	324
Прибуток (грн) від реалізації одиниці продукції	14	10

Варіант 2

Ресурси	Норми витрат на одиницю продукції (кг)		Запаси (кг)
	П1	П2
А1	14	15	400
А2	1	2	49
А3	9	5	220
Прибуток (грн) від реалізації одиниці продукції	21	18

1.2. Тематичний диктант:

1. Записати правила диференціювання і таблицю похідних для елементарних функцій.

2. Дати означення локального і глобального мінімуму.

3. Сформулювати теорему Ферма про необхідні умови екстремуму. Навести приклад, коли похідна функції в точці дорівнює 0, але точка не є точкою екстремуму.

4. Які точки називають стаціонарними?

5. Сформулювати теорему Вейєрштрасcа про існування найбільшого і найменшого значень функцій від багатьох змінних.

6. Сформулювати достатні умови екстремуму для функції від двох змінних.

7. Сформулювати класичну задачу на умовний екстремум.

8. Дати означення точки локального умовного максимума.

9. У чому полягає суть методу множників Лагранжа?

10. Що являє собою функція Лагранжа?

1. Розв’язати задачу інтерполювання функції з прикладу 1, використовуючи співвідношення (6). Знайти інтерполяційний многочлен Лагранжа за допомогою системи Mathcad. За допомогою знайденого інтерполяційного многочлена провести екстраполювання вперед і назад (див. рис. 4 і 5) для х=5 і х=-1.5.

2. Виконати індивідуальне завдання.

3. Підготувати звіт про виконання лабораторної роботи №13-14.