2. Класичний метод знаходження екстремумiв функцiї однiєї змiнної

Класичними називають такі методи знаходження точок екстремуму функцiї, якi грунтуються на диференцiальному численнi. Нагадаємо суть класичного методу відшукання екстремумів функцiї однiєї змiнної.

При вивченнi екстремальних задач будь-якого класу важливе мiсце займає питання про умови оптимальностi або умови екстремуму. Вони складають основу якісних методів теорії оптимізації, які вивчають властивості екстремальних задач, використовуються при побудові і обгрунтуванні чисельних методів розв’язування цих задач, а також надають можливість у деяких випадках явно розв’язати екстремальну задачу.

Розрiзняють необхiднi i достатнi умови екстремуму. Необхiдними умовами екстремуму є умови, яким повинна задовольняти точка, яка є розв’язком екстремальної задачi. Достатнiми умовами екстремуму є умови, з яких випливає, що знайдена точка є точкою екстремуму певного типу (точкою мiнiмуму чи максимуму).

Розглянемо необхідні і достатні умови екстремумум для функцiї однiєї змiнної. Має мiсце:

Теорема 4 (Ферма). Нехай функция визначена на деякому промiжку , який мiстить точку ( ), i диференцiйована в цiй точцi. Тодi, якщо точка є точкою локального екстремуму (мiнiмуму або максимуму) цiєї функцiї, то .

Точки , для яких , називаються стацiонарними.

Стацiонарнi точки разом з кiнцевими називаються критичними («пiдозрiлими» на екстремум).

Спiввiдношення є лише необхiдною умовою для того, щоб точка була точкою екстремуму функцiї . Воно дає можливiсть вiдiбрати стаціонарні точки, але не дає пiдстав стверджувати, що в цих точках функцiя справдi має екстремум. Для цього потрiбно робити додатковi дослiдження.

Теорема 5 (достатнi умови строгого екстремуму).

1. Якщо функцiя неперервна в точцi , а в iнтервалi i в iнтервалi для деякого , то точка є точкою мiнiмуму функцiї .

2. Якщо функцiя неперервна в точцi , а в iнтервалi i в iнтервалi для деякого , то точка є точкою максимуму функцiї .

Сформулюємо також достатнi умови строгого екстремуму функцiї в термiнах значень похiдних вищих порядкiв в точцi .

Теорема 6. Нехай функцiя визначена в деякiй точцi i нехай в цiй точцi функцiя має похiднi до порядку n включно, при цьому

, , .

Тодi, якщо n - парне число, то функцiя має в точцi строгий екстремум, а саме: мiнiмум при i максимум при .

Якщо n - непарне число, то функцiя не має в точцi екстремуму, ця точка є точкою зростання при i спадання при .

Наслiдок. Якщо , а , то при точка є точкою строгого мiнiмуму, а при - точкою строгого максимуму функцiї .

Враховуючи теореми Вейєрштраса i Ферма, а також достатнi умови екстремуму, можна дати загальне правило відшукання розв’язкiв одновимiрних задач оптимiзацiї.

Правило I.

Щоб знайти найменше (найбiльше) значення функцiї , яка визначена i неперервна на вiдрiзку , диференцiйована в iнтервалi , за винятком, можливо, скiнченного числа точок, i має скiнченне число точок, в яких (якщо такi точки iснують), потрiбно:

1) знайти всi стацiонарнi точки функцiї , тобто розв’язати рiвняння ;

2) за допомогою достатнiх умов екстремуму визначити, якi з стацiонарних точок (якщо вони iснують) є точками локального мiнiмуму (максимуму);

3) знайти значення функцiї у точках локального мiнiмуму (максимуму) (якщо такi точки iснують);

4) визначити точки, в яких функцiя не має похiдної, i знайти в цих точках (якщо вони iснують) значення функцiї;

5) знайти значення функцiї в кiнцевих точках промiжка : ;

6) серед усiх так знайдених значень функцiї вибрати найменше (найбiльше).