7.2.1. Диференційні рівняння.
Математична
залежність між вихідною Y
та вхідною Х величинами і їх похідними
в часі t для більшості теплових об’єктів
і промислових регуляторів складається
на базі загальних законів термодинаміки,
гідравліки, електротехніки і приблизно
може бути описана з допомогою лінійних
диференційних рівнянь зі сталими
коефіцієнтами: 
(1)
Диференційне рівняння 1-го порядку має вигляд:
;
(2)
Або при спрощеному записі:
(3)
Сталі коефіцієнти диференційних рівнянь, наприклад, для теплових об’єктів, вираховуються за даними теплового розрахунку агрегату, його конструктивних характеристик або визначаються експериментальним шляхом на діючих установках.
7.2.2. Передавальні функції.
Останнє диференційне рівняння (3) можна записати в такому вигляді:
(4)
Де
є символом диференціювання.
Математична
операція перемножування змінної 
на 
буде означати її диференціювання, а
ділення – операцію зворотну до
диференціювання, тобто інтегрування:
Рівняння (4) можна переписати в такому вигляді:
(5)
Аналогічно записуються рівняння більш високого порядку, які можуть мати похідні в правій частині:
(6)
Де D (p) і B (p) багаточлени від р.
Така форма запису рівнянь називається операторною і звичайно застосовується при складанні рівнянь ланок і систем.
Рівняння
типу (5) і (6) простіше розв’язати як
алгебраїчне відносно p, але для цього
необхідно перетворити функції змінних
в функції іншої змінної – р, тобто в 
Це перетворення здійснюється з допомогою
інтегралу Лапласа-Карсона:
(7)
Цей
інтеграл залежить лише від значень 
,
які існують в інтервалі часу t від 0 до
∞. Після інтегрування і підставлення
цих меж замість t отримуємо вираз, який
не містить в собі t і залежить від р,
тобто 
,
в якому р розглядається вже не як символ
диференціювання, а як число.
Функція
,
яка перетворюється називається
оригіналом, а функція
,
яка утворюється після перетворення –
її зображенням L
].
Отже, вираз (4) трансформується у вираз:
(8)
А
вираз (6) у вираз 
, (9)
де
р – символ диференціювання, 
і 
- багаточлени від р (операторні
багаточлени); Y(р)
і Х(р)
–
зображення
відповідно регульованої
(вихідної)
величини і регулюючої дії (вхідної
величини).
Знайдемо відношення:
,
(10)
Це
відношення зображення вихідної величини
до зображення вхідної величини називається
передавальною
функцією
(оператором) ланки (групи ланок, системи).
Позначається передавальна функція
через
.
Отже оператор ланки або передавальна
функція
,
відповідно до рівняння (5) може бути
подана і записана такими виразами:
. (11)
Висновок: Отже, оператор ланки або системи дорівнює відношенню операторних багаточленів правої та лівої частин їх рівнянь. При цьому зображення диференційних рівнянь мають такий самий вигляд, як і самі рівняння, отримані шляхом простого підставлення в них р замість yІ.