10.1. Критерії стійкості систем автоматичного регулювання.

Для аналізу систем автоматичного регулювання застосовуються такі критерії стійкості:

1. Кореневий – визначається знаком дійсної частини коренів характеристичного рівняння САР.

б) Алгебраїчний – визначається коефіцієнтами характеристичного рівняння системи:

в) Частотний критерій Михайлова – визначається виглядом годографа вектора характеристичного рівняння замкненої системи W_ЗС (ίω).

г) Амплітудно-фазовий критерій Найквіста – визначається виглядом годографа вектора АФХ розімкненої системи W_РС (ίω) = W_О (ίω) W_Р (ίω).

10.1.1. Кореневий критерій.

Якщо динамічні характеристики об’єкту та регулятора описуються диференційними рівняннями, то і САР також описується диференційними рівняннями такого вигляду:

де - регульована величина;

n – порядок старшої похідної;

ɑ_n, ɑ_n-1, ………, ɑ₁, ɑ₀ - сталі коефіцієнти.

Система автоматичного регулювання буде стійкою, якщо корені її характеристичного рівняння, записаного в операторній формі

є дійсними від’ємними або комплексними з від’ємною дійсною частиною, тобто розташовані в лівій півплощині коренів (заштрихованої на координатній площині):

10.1.2. Алгебраїчний критерій.

Знаки коренів характеристичного рівняння пов’язані з його коефіцієнтами

ɑ_n, ɑ_n-1, ………, ɑ₁, ɑ₀ , які мають сталі значення.

В алгебраїчному критерії аналізуються коефіцієнти характеристичного рівняння. Так, САР будуть стійкими, якщо в характеристичних рівняннях:

1-го порядку - ɑ₁ і ɑ₀ ;

2-го порядку - ɑ₂, ɑ₁ і ɑ₀ ;

3-го порядку - ɑ ₃ , ɑ ₂, ɑ₁ і ɑ₀ і ɑ₁ * ɑ₂ ɑ ₃ * ɑ₀ .

Якщо характеристичні рівняння більш високого порядку, то необхідно розглядати додаткові умови та проводити складніші розрахунки.

10.1.3. Частотний критерій Михайлова.

Замкнена САР буде стійкою, якщо годограф вектора її характеристичного рівняння n-го ступеня W_ЗС (ίω) зі зростанням ω від 0 до ∞ проходить послідовно через n квадрантів комплексної площини, обертаючись в додатному напрямку.

Приклад для системи 4-го ступеня поданий на рисунку:

стійка на межі стійкості нестійка

10.1.4. Амплітудно-фазовий критерій Найквіста.

Замкнена САР буде стійкою, якщо годограф вектора її АФХ в розімкненому стані W_РС(ίω) не охоплює точки з координатами U = -1; i V = 0.

Приклади АФХ, які пояснюють даний критерій стійкості подані на рисунку:

Виконання умов стійкості обов'язкове, але ще недостатнє для всесторонньої оцінки практичної придатності САР. Так, система може бути стійкою, але при цьому, наприклад погасання коливань відбувається дуже повільно або відновлення регульованої величини перевищують допустимі межі. Тому оцінити перехідний процес можна за показниками якості регулювання.