6. Определение площади участка

Составление различного рода проектов, связанных с использованием земельной территории, изучение её природных богатств, учет и инвентаризация земель требует определения площадей. При проведении этих работ определяются площади небольших участков или больших земельных массивов, суммы площадей нескольких несмежных участков, обладающих одними и теми же природными или хозяйственными признаками.

К таким площадям могут относиться различные сельскохозяйственные территории (луга, пашни, огороды), лесонасаждения, площади под планировку и застройку. А также территории осушения (болота), площади бассейнов водотоков (рек и оврагов), границы затоплений, водные пространства (озера, пруды, водохранилища), площади насыпей и выемок для подсчета объемов земляных дорог и других сооружений.

В одних случаях достаточно ограничиться общими сведениями о площади участков и массивов, а в других случаях необходимы более точные способы определения площадей и погрешность даже в несколько десятых долей процента считается недопустимой. Поэтому наряду с определением площади очень часто требуется знать и точность её определения. При определении площадей по результатам измерений на местности точность зависит от качества этих измерений, в то время как при измерении площади по плану (или карте) на точность площади влияет качество измерений на местности, по которым составляется план или карта, графических построений участка на плане и определения площади по плану.

В зависимости от хозяйственной значимости участков и массивов, их размеров, конфигурации и вытянутости, наличия планово – топографического материала, топографических условий местности применяют следующие способы определения площадей:

1. Аналитический способ - когда площадь вычисляется по результатам измерений линий на местности или по их функциям (координатам вершин участка);

2. Графический способ - когда площадь вычисляется по результатам измерений линий на плане (карте);

3. Механический способ - когда площадь определяется по плану при помощи специальных приборов (планиметров).

Иногда эти способы применяются комбинированно. Например, общая площадь определяется аналитическим способом (по координатам вершин), а площади внутренних контуров – графическим или механическим способом. Далее в методическом указании будет более подробно рассмотрен каждый из выше перечисленных способов определения площадей.

Аналитический способ определения площадей

Вычисление площади этим способом производится по формулам геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии. Исходными данными для вычисления служат измеренные в натуре углы или их функции – координаты.

Если участок представляет собой простейшую геометрическую фигуру (треугольник, трапецию и др.), то площадь его вычисляют по общеизвестным формулам геометрии или тригонометрии. Площади многоугольников вычисляют обычно по координатам вершин (рисунок 1.11).

Рисунок 1.11. Вычисление площади многоугольника по координатам.

Площадь замкнутого контура (1-2-3-4-5-6) в этом случае определяется по формулам:

,

где i - это порядковый номер вершин контура от 1 до n; n - число вершин полигона; x, y - координаты вершин контура.

При подстановке i = 1 получим в первой формуле x₀ - x₂, а второй y₂ - y₀, где вместо x₀ и y₀ необходимо подставить x_n и y_n; если при подстановке i = n получим в первой формуле x_n-1 - x_n+1, во второй y_n+1 - y_n-1, где вместо x_n+1, y_n+1 необходимо подставить x₁ и y₁ (так как нулевая точка предшествует первой, а в данном случае первой вершине предшествует вершина n; точка n + 1 следует за точкой n, а в данном случае за вершиной n следует первая вершина). Вычисление площади производиться для контроля по обеим формулам.

В Таблице 1.1 приведен пример расчета площади при помощи аналитического способа. В соответствие с рисунком 1.11 в графах 1 и 2 таблицы 1.1 заданы прямоугольные координаты каждой вершины замкнутого полигона.

Разности координат x_i-1 - x_i+1 и y_i+1 – y_i-1 с соответствующим знаком запишем в графы 3 и 4. Например, для вершины 1 разность будет складываться из координаты последующей вершины 2 (Х₂ = 209,43) и координаты предыдущей вершины 6 (Х₆ = 209,43). Результат перемножения соответственно граф 2 и 3, а также 1 и 4 запишем в графы 5 и 6.

Таким образом, площадь участка составляет 141269,0998 м² или 14,1 га. Вычисление разностей координат контролируется тем, что алгебраическая сумма, как разностей координат X, так и разностей координат Y должна равняться нулю, либо при составлении разностей каждая координата входит как со знаком плюс, так и со знаком минус. Совпадение сумм произведений в обоих случаях указывает на отсутствие ошибок вычислений.

Сумма произведений соответствует удвоенной площади полигона в квадратных метрах, так как координаты даны в метрах.

Точность аналитического способа 1/1000. При определении площади этим способом на точность влияют только погрешности измерений на местности.

Если вы записываете координаты вершин в направлении по часовой стрелке, вы получите отрицательную площадь. Таким образом, это можно использовать для описания цикла или последовательности данного набора вершин, формирующих многоугольник.

Данная формула находит площадь с учетом формы многоугольника. Если многоугольник имеет форму цифры 8, то необходимо из площади с вершинами против часовой стрелки вычесть площадь с вершинами по часовой стрелке.

Таблица 1.1

№ Вершин	Координаты				Разность координат				Произведения
	+ -		+ -		+ -		+ -		+ -		+ -
		1		2		3		4		5		6
1	+	36,83	+	29,76	-	219,55	-	200,62	-	8086,0265	-	5970,4512
2	+	209,43	+	112,33	+	13,14	-	340,58	+	2751,9102	-	38257,3514
3	+	377,41	+	42,90	+	209,37	-	278,34	+	79018,3317	-	11940,7860
4	+	487,77	+	321,70	+	430,82	+	119,63	+	210141,0714	+	38484,9710
5	+	257,78	+	473,72	+	10,18	+	478,96	+	2624,2064	+	226892,9312
6	+	8,81	+	331,88	-	443,96	+	220,95	-	3911,2876	+	73328,8860
						+663,51 -663,51 0		+819,54 -819,54 0		+294535,5137 -11997,3141 282538,1996		+338706,7882 -56168,5886 282538,1996

Графический способ определения площадей

Площади участков, имеющих форму геометрических фигур треугольника, прямоугольника или трапеции, вычисляют по известным формулам геометрии. Площадь треугольника S=1/2(ah), когда измерены основания a и высота h или , когда измерены стороны a, b, c и вычислен периметр P. Площадь прямоугольника S=ah, где a - основание, h - высота, площадь трапеции S=1/2(a+b)h, где a, b - длины оснований, а h - высота. Если участок представляет многоугольник, то его делят на элементарные геометрические фигуры – треугольники и трапеции.

Рисунок 1.12. Прямолинейная и криволинейная площадь

В каждой фигуре измеряют длины, по которым можно вычислить площадь. Иногда к сторонам многоугольника примыкают криволинейные контуры АМВ. В этих случаях перпендикуляры, опущенные из точек поворота на линию АВ, образуют трапеции и треугольники. Для вычисления площадей измеряют необходимые линии. Общая площадь многоугольника получается как сумма площадей отдельных фигур.

Точность определения площади графическим методом зависит от графической ошибки измерений линий плана. Известно, что линия плана определяется циркулем – измерителем (Рисунок 1.13) с ошибкой 0,1 мм, которая не зависит от длины линии. Из этого следует, что относительная ошибка короткой линии больше, чем длинной. Поэтому при построении элементарных фигур надо стремиться к фигурам больших размеров и по возможности с одинаковыми длинами оснований и высот.

Рисунок 1.13 Циркуль-измеритель

Для контроля и повышения точности площади можно определять дважды, для чего строят новые элементарные фигуры или в треугольниках измеряют другие основания и высоту. Относительное расхождение двухкратных определений общей площади не должно превышать точности 1/200 или 1-2% по отношению к действительной площади.

Результаты измерения площади запишите в Таблице 3 Приложения.