Если , то получаем формулу расчета экспоненциальной средней третьего порядка:

,

т.е. сглаживанию подвергаются экспоненциальные средние второго порядка.

Экспоненциальные средние более высоких порядков рекомендуются к применению, если после сглаживания исходного динамического ряда тенденция ряда проявляется недостаточно четко.

Экспоненциальные средние второго, третьего порядков нашли применение в адаптивном прогнозировании по полиномиальным моделям.

2.5. Адаптивное прогнозирование по полиномиальным моделям

Английский ученый Р. Браун предложил использовать экспоненциальные средние в прогнозировании для вычисление поправок

коэффициентов сглаживающего полинома. Предположим, что для прогноза использован линейный тренд

.

Согласно теореме Брауна-Майера параметры линейного тренда связаны с экспоненциальными средними первого и второго порядков:

;

.

Соответственно:

;

.

Из формулы расчета экспоненциальных средних нам известно, что необходимо задать начальные условия , т.е. определить и .

Начальные условия задаются в виде следующих формул:

;

.

Предположим, что к динамическому ряду, представленному в таблице 2.3.1, применено аналитическое выражение в виде линейного тренда. Уравнение тренда составило:

,

где =1,2,…,14.

Параметр определим из формулы

.

Соответственно:

, а .

Начальные условия для экспоненциального сглаживания в нашем примере окажутся:

;

.

Исходя из формулы экспоненциальной средней, экспоненциальные средние и составят:

,

где , т.е. и ;

;

,

где ; .

Тогда скорректированные параметры линейного тренда составят:

;

.

Прогноз проводим по модели

,

где − период упреждения.

В рассматриваемом примере прогноз на на 2006 г. составит (при ):

.

Соответственно про прогнозе на 2007 г. берем :

.

Если прогноз основывается только на уравнение тренда, то на 2006 г. он составит

,

а на 2007 г.

.

Рассмотренные параметры линейного тренда и можно корректировать на новую информацию. Так, после прогноза на 2006 г. можно вновь определять и и на их основе можно строить новое уравнение для прогноза на 2007г.

Если ряд динамики описывается параболой второго порядка , то рассчитываются экспоненциальные средние первого ( ), второго ( ) и третьего ( ) порядков. Модель, по которой осуществляется прогноз, имеет вид:

,

где , , − оценки параметров уравнения тренда, скорректированные по экспоненциальному сглаживанию:

;

:

.

Начальные условия для экспоненциальных средних разных порядков определяются по формулам:

;

;

.

Экспоненциальные средние:

;

;

.

Метод экспоненциального сглаживания для прогнозирования имеет как достоинства, так и недостатки. Достоинствами метода являются его простота, достаточная точность, которая возрастает с увеличением длины динамического ряда и снижается с ростом периода прогноза. К недостаткам можно отнести отсутствие точного выбора оптимальной величины параметра сглаживания . Данный метод эффективен при проведении краткосрочных прогнозов.

2.6. Процедура сглаживания в пакете statgrafiCs

Пакет STATGRAFICS является модульной системой, которая состоит из основного (Special) и пяти вспомогательных модулей:

• модуль расширенного регрессионного анализа (Advanced Regression Module – AR);

• модуль анализа временных рядов (Time Series Analyses Module − TSA);

• модуль контроля качества (Quality Control Module − QC);

• модуль многомерных методов анализа (Multivariate Methods Module − MM);

• модуль планирования эксперимента (Experimental Design Module − ED).

Основное меню STATGRAFICS содержит следующие пункты меню:

• File (управление данными, печатью и другие системные опции);

• Edit (процедуры редактирования);

• Plot (построение графиков);

• Describe (описательные статистики);

• Compare (сравнение данных);

• Relate (простая и множественная регрессия);

• Special (вызов дополнительных модулей);

• View (опции просмотра);

• Window (опции оконного и графического интерфейса)

• Help (доступ к справке STATGRAFICS).

Взаимодействие пользователя с пакетом осуществляется в диалоговом режиме. Начало работы с системой состоит из создания или загрузки существующей электронной таблицы (таблица 2.6.1, рисунок 2.6.1).

Например: Имеются следующие данные по площади жилищ, приходящейся в среднем на одного жителя – всего, м² по Хабаровскому краю (У) (таблица 2.6.1).

Таблица 2.6.1 − Площадь жилищ, приходящаяся на одного жителя, м².

Год	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
У	15,4	16,1	16,5	16,6	16,9	17,0	17,1	17,9	18,2	18,5	19,3	19,5	19,7	19,9

Рисунок 2.6.1 − Электронная таблица STATGRAFICS

При прогнозировании социально-экономических явлений важное место занимают установление тренда и расчет его параметров. Модуль STATGRAFICS Time-Series Аnalysis (Анализ временных рядов или сокращенно АВР) содержит процедуры, позволяющие строить модели одномерных временных рядов:

- Descriptive Methods Analysis (Описательные методы анализа) Процедура позволяет установить структуру временных рядов с использованием разнообразных критериев;

- Smoothing (Сглаживание). Модуль осуществляет различные виды сглаживания;

- Seasonal Decomposition (Сезонное разложение). Процедура проводит разложение временного ряда;

- Forecasting (Прогнозирование). Модуль осуществляет прогнозы по различным моделям.

При определении формы связи отдельных временных рядов сложно установить характер связи направления тренда из-за влияния циклических, сезонных, случайных и иных колебаний. Поэтому необходимо применять методы сглаживания, позволяющие минимизировать воздействие отмеченных колебаний.

В модуле Time-Series Аnalysis (АВР) выберем процедуру Smoothing (Сглаживание), появиться панель ввода данных (рисунок 2.6.2):

Forecasting – прогнозирование; Data – данные (имя переменной); Sampling Interval – выборочный интервал; Once Every – выбор времени; Year(s) – годы; Quarter(s) – кварталы; Month(s) – месяцы; Day(s) – дни; Hour(s) – часы; Minute(s) – минуты; Second(s) − секунды; Other – другое; Starting At – начинать с; (Seasonafity:) − сезонность; (Trading Days Adjustment:) − корректировка данных; (Select:) – выбор; Transform – трансформировать.

Рисунок 2.6.2 − Модуль ввода данных Smoothing (Сглаживание)

Система выведет в рабочей области сводку простого пятичленного сглаживания, установленного по умолчанию (рисунок 2.6.3)

Analysis Summary

Data variable: Y

Number of observations = 14

Start index = 1992

Sampling interval = 1,0 year(s)

First smoother: simple moving average of 5 terms

Second smoother: none

Рисунок 2.6.3 − Сводка простого пятичленного сглаживания

В табличных опциях (рисунок 2.6.4) установим флажок Date Table (таблица данных), а в графических – Time Sequence Plot (график временно последовательности) (рисунок 2.6.5).

Analysis Summary – резюме анализа; Date Table – таблица данных.

Рисунок 2.6.4 – Панель Tabular Options (Табличные опции).

STATGRAFICS построит график (рисунок 2.6.6) и рассчитает сглаженные значения (рисунок 2.6.7).

Time Sequence Plot − график временно последовательности; Residual plot – график остатков.

Рисунок 2.6.5 - Панель Graphical Options (графические опции).

Щелкнем правой кнопкой мыши на табличной панели Date Table (Таблица данных) (рисунок 2.6.7). Появится всплывающее меню, в котором выберем пункт Pine Options (опции панели) (рисунок 2.6.8):

Рисунок 2.6.6 − График изменения площади жилищ, приходящейся на одного жителя, м².

Система предоставит возможность изменить метод сглаживания. Установим переключатель в поле EWMA (взвешенное экспоненциальное сглаживание) (рисунок 2.6.8)

Data Table for Y

First smoother: simple moving average of 5 terms

Second smoother: none

Period Data Smooth Rough

----------------------------------------------------------------

1992 15,4

1993 16,1

1994 16,5 16,3 0,2

1995 16,6 16,62 -0,02

1996 16,9 16,82 0,08

1997 17,0 17,1 -0,1

1998 17,1 17,42 -0,32

1999 17,9 17,74 0,16

2000 18,2 18,2 0,0

2001 18,5 18,68 -0,18

2002 19,3 19,04 0,26

2003 19,5 19,38 0,12

2004 19,7

2005 19,9

----------------------------------------------------------------

Таблица Данных для Y

Первое сглаживание: простое скользящее среднее значение 5 сроков

Период Данные Сглаживание Остатки

----------------------------------------------------------------

1992 15,4

1993 16,1

1994 16,5 16,3 0,2

1995 16,6 16,62 -0,02

1996 16,9 16,82 0,08

1997 17,0 17,1 -0,1

1998 17,1 17,42 -0,32

1999 17,9 17,74 0,16

2000 18,2 18,2 0,0

2001 18,5 18,68 -0,18

2002 19,3 19,04 0,26

2003 19,5 19,38 0,12

2004 19,7

2005 19,9

----------------------------------------------------------------

Рисунок 2.6.7 − Таблица данных

Система рассчитает значение и построит график для взвешенного экспоненциального сглаживания с параметром (рисунок 2.6.9).

Smoother – сглаживание; Simple Moving Average – простое скользящее среднее; Spencer's 15-Tem MA – скользящие средние Спенсера по 15 точкам; Spencer's 21-Tem MA – скользящие средние по 21 точке; Henderson's Weighted MA – средние взвешенные Хендерсона; EWMA (Exponentially Weighted Moving Average) − взвешенное экспоненциальное скользящее среднее; 3RSS, 3RSSH, 5RSS, 5RSSH, 3RSR – устойчивое нелинейное сглаживание (Число 3 или 5 означает расстояние, пробегаемое скользящей медианой. R предполагает повторное медианное сглаживание. Первая буква S обозначает выполнение специальной операции расщепления вершин и впадин временного ряда. Вторая S показывает, что будет выполнено второе расщепление. H свидетельствует об использовании скользящего взвешенного среднего с весами 1/4, 1/2 и 1/4); Length of Moving Average − длина скользящего среднего значения; EWMA Smoothing Constant – константа сглаживания для взвешенной экспоненциальной скользящей средней ( и т.д); None − ни один.

Р исунок 2.6.8 − Панель установки Smoothing Option (Опций сглаживания)

Рисунок 2.6.9 − График для взвешенного экспоненциального сглаживания с параметром

Определив общие закономерности изменения площади жилищ, приходящуюся на одного жителя, можно приступить к подбору модели и расчету прогнозных значений моделируемого показателя. С этой целью проводится моделирование одномерных рядов (в системе STATGRAFICS процедура Forecasting модуля АВР).

Контрольные вопросы к разделу 2

1. Объясните назначение скользящих средних. Влияние каких компонент временного ряда устраняется с их помощью?

2. Поясните, когда целесообразно использовать простые скользящие средние, а для каких временных рядов предпочтительнее применение взвешенных.

3. Приведите алгоритм расчета простых скользящих средних.

4. В чем отличие алгоритма расчета взвешенных скользящих средних от простых?

5. Сколько значений теряется при использовании скользящей средней с длиной интервала g = 2p+1?

6. Какие приемы восстановления потерянных уровней после реализации процедур сглаживания используются на практике?

7. Как рассчитываются простые скользящие средние при четной длине интервала сглаживания?

8.Укажите характерные особенности адаптивных методов прогнозирования.

9. Какие типы адаптивных моделей вы знаете?

10. Чем объясняется название «экспоненциальная средняя»?

11. Какую роль играет параметр адаптации в процедуре сглаживания?

12. Как влияет значение параметра на характер сглаженного ряда?