- •1 Билет
- •1. Определение геометрического ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). Теорема (о погружении дискретного аргумента (n) в непрерывный (X).
- •2. Определение функции нескольких переменных. Определение множества значений фнп. Определение графика функции. Определение линии уровня.
- •3 Билет
- •2) Определение ду, обыкновенное и ду в частных производных, порядок и решение;
- •4 Билет
- •1.Второй предельный признак сравнения. Признак Даламбера
- •1.Теор.Коши, интегральный признак коши
- •2. Опререления:точки максимума и минимума,точки
- •6 Билет
- •1) Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница
- •2)Условный экстремум. Необходимое условие условного экстремума
- •1.Определение знакоперем.Ряда.Абсолютно сходящийся,условно сходящийся.
- •2. Теорема о существовании двойного интеграла, геометрический смысл двойного интеграла.
- •1.Степенной ряд, область сходим. Степен. Ряда, теорема Абеля и следствие из нее
- •1) Определение ряда Тейлора. Определение ряда Маклорена.
- •2) Определение линейного ду первого порядка.
- •1. Ряд тейлора (теорема)
- •2. Условный экстремум, необходимое условие условного экстремума
- •1)Определение полного дифференциала. Дифференцируемость ф-ции 2 переменных в точке.(определение и теорема).
- •2)Уравнение Бернулли (определение и метод решения).
- •1) Дифференцирование сложных функций (2 теоремы и замечание)
- •2) Частные случаи ду 2го порядка, метод решения
- •1.Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •1)Определение двойного интеграла от функции двух переменных. Замечание по символическому обозначению ди. Теорема о существовании ди
- •2) Достаточное условие экстремума функции двух переменных(теорема)
- •1.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат;
- •2.Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: определение и метод решения.Определение комплексного числа.Определение характеристического уравнения.
- •1) Числовые ряды. Частичная сумма числовых рядов. Сходимость числового ряда и суммы числового ряда.
- •2) Виды правых частей линейного неоднородного
- •1.Геом ряд.Теорема о погружении и т о достаточном условии чего-то там из той же лекции
- •2.Вычисление ди в декартовой системе
- •1) Теорема Коши.Интегр-й признак Коши
- •1. Второй предельный признак сходимости. Признак Даламбера.
- •2. Точка Максимума,минимума функции двух переменных,экстремум,стационарные и критические точки.
- •1. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница
- •2. Линейный ду 1-ого порядка. Однородные и неоднородные. Общие их решения.
- •1)Определение двойного интеграла от функции двух перем
- •2)Определение и метод решения полного дифферинциала
- •1)Определение окрестности точки на плоскости Определение предела ф-ии двух переменных
- •1)Основные свойства двойного интеграла;
- •2)Метод математической индукции
- •1.Ди в полярной системе координат
- •2.Однородное ду 1-го порядка (метод решения, замечание)
- •3.Стационарные точки
- •41 Билет
- •1)Определение непрерывности в точке функции двух переменных . Определение точки разрыва функции двух переменных.
- •2) Определение однородной функции степени n. Однородное ду первого порядка ( определение, представление в виде уровня в дифференциалах ( замечаний и метод решения)
- •1. Определение двойного интеграла для функции двух переменных. Замечание о символах двойного интеграла. Теорема о существовании двойного интеграла.
- •2. Виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 порядка и соответствующие виды частных решений.
- •1. Окрестность точки на плоскости. Предел функции нескольких переменных.
2)Уравнение Бернулли (определение и метод решения).
О:Ур вида y’+p(x)y=f(x)y^n (1), где n≠0 n≠1 наз ур-ем Бернулли. Метод реш ур Берн основан на замене перем у по форм z=y^(1-n), где z-new искомая ф-я от х. В рез замены ур Бер приводится к лин ур и далее реш-ся как лин-ое.
3)двойной интеграл от х/(y^2)dxdy D: у=х+1, у=1, х=2
Билет 14:
1) Дифференцирование сложных функций (2 теоремы и замечание)
Т:If z= f(x,y), где х=µ(t), y=ψ(t) и каждая из ф-й дифференцируема, то производная слож ф z=f[µ(t),ψ(t)] мб вычислена по формуле dz/dt=∂z/∂x*dx/dt+∂z/∂y*dy/dt
З: If z= f(x,y), где y=µ(x), то полная произв от z по х наз по форм dz/dx=∂z/∂x+∂z/∂y*dy/dx
T: If z= f(x,y), где x=µ(u,v), y=ψ(u,v) и каждая из ф-й дифф-ма, то ∂z/∂u=∂z/∂x*∂x/∂u+∂z/∂y*∂y/∂u ∂z/∂v=∂z/∂x*∂x/∂v+∂z/∂y*∂y/∂v
2) Частные случаи ду 2го порядка, метод решения
Частные случаи ДУ2го пор. Сл1. Ур, содержащее только независ перем и производ 2го пор: y’’=f(x). Метод решения: рещается последовательным интегрированием. Сл2. Ур, не содержащее искомой ф-ии. F(x,y’,y’’)=0; данное ур реш-ся при пом подстановки y’=z, где z-new неизвест ф от х. Сл3:Ур, не содержащее независ перем F(у,y’,y’’)=0, реш-ся при пом подстан y’=z, где z-new неизвест ф-ия от у.
Билет 15.
1.Необходимое и достаточное условие экстремума.
Т(необх усл экс): If ФНП дстигает экс в к/л т, то эта т явл крит.
Т(дост усл экс):↓ф z=f(x,y) имеет непрер част произв 2го пор в некот окр стац т (х0,у0). Обозначим: А=z’’xx(x0,у0); В=z’’xy(x0,у0); C=z’’yy(x0,у0); ∆=AC-B^2, тогда: 1)If ∆>0, то ф имеет экс-ы в т (х0,у0), а именно 1.1) max, if A<0 1.2) min, if A>0. 2) If ∆<0, то в т (х0,у0) экс нет. 3)If ∆=0, то треб-ся доп исследования.
2.Однородное ду 1-го порядка(определение + метод решения)
О: ДУ 1го пор наз однородным, if оно мб представлено в виде: y’=f(y/x)
З!однород ДУ может также быть записано в виде
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, где ф-ии M(x,y) и N(x,y) явля-ся однород ф-ми одинак степ. однородности.
Метод реш орднор ДУ основан на замене перем у по форм у=ux, где u-new искомая ф от х. В рез такой замены однор ДУ преобраз в ДУ с разделяющимися перем.
Билет 16
1)Определение двойного интеграла от функции двух переменных. Замечание по символическому обозначению ди. Теорема о существовании ди
О:Двойным интегралом (ДИ) от ф z=f(x,y) по обл D наз предел ее интегр суммы In при стремлении мах-го из диаметров элементарных областей к 0, if этот предел сущ и конечен и не зависит от способа разбиения обл D на элементарные области Di и способа выбора точек Pi каждой из них. При этом пишут: ∫∫f(x,y)dƍ=limΣf(xi,yi)Δƍi (под ∫ D, под lim max di→0), при этом называют: f(x,y)-отынтегральной ф-ей, D-обл-ю инт-ия, х,у-перем инт-я.
З! для обознач двойн инт-ла каряду с симв SSd∂(под s D) исп-ся также и символ SSdxdy(под s D).
Т(о сущ ДИ):If ф z=f(x,y) непрер в замкн обл D, то ДИ от этой a по данной обл сущ.
2) Достаточное условие экстремума функции двух переменных(теорема)
Т(дост усл экс):↓ф z=f(x,y) имеет непрер част произв 2го пор в некот окр стац т (х0,у0). Обозначим: А=z’’xx(x0,у0); В=z’’xy(x0,у0); C=z’’yy(x0,у0); ∆=AC-B^2, тогда: 1)If ∆>0, то ф имеет экс-ы в т (х0,у0), а именно 1.1) max, if A<0 1.2) min, if A>0. 2) If ∆<0, то в т (х0,у0) экс нет. 3)If ∆=0, то треб-ся доп исследования.
3) (x-y)dx + xdy=0
Билет № 17 1. Основные свойства двойного интеграла
Основные св-ва ДИ. 1)ДИ от суммы (разности) 2х ф-й равен сумме (разности) ДхИв от их ф-й ∫∫[f1(x,y)±f2(x,y)]dơ=∫∫f1(x,y)dơ)±∫∫f2(x,y) dơ 2)Постоян мн-ль м выносить на знак ДИ =∫∫Сf(x,y)dơ=С∫∫f (x,y)dơ 3)Если обл инт-ия D разбита на 2 обл D1 и D2, то ∫∫f(x,y)dơ=∫∫f(x,y)dơ+∫∫f(x,y)dơ (D,D1,D2) 4)Если всюду в обл D f(x,y)≤µ(x,y), то ∫∫f(x,y)dơ≤∫∫µ(x,y)dơ при усл, что эти инт сущ. 2. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами(теорема)
Т(общее реш лин однор ДУ с пост коэфф) ↓ λ1,λ2-корни характ ур (2) соотв-го ур-ю (1), тогда общ реш у0 ур (1) имеет вид: 1)if корни λ1 и λ2 действит и различ числа, то у0= С1e^λ1x+C2e^λ2x 2)if корни λ1 и λ2 явл действит и равные числа, то у0=е^λx(C1+C2x) 3)if корни λ1и λ2 явл комлекс числами (λ1=α+iβ, λ2=α-iβ), то у0=е^λx(C1cosβx+C2sinβx). 3. xy'=y+x cos^2(y/х)
Билет № 18.