1.Степенной ряд, область сходим. Степен. Ряда, теорема Абеля и следствие из нее

Определение: Ряд вида a0+a1x+a2x^2+…+anx^n+…=Ʃ anx^n (0-∞) называется степенным рядом, а числа а0, а1…аn,…называются коэффициентами степенного ряда. Степенным рядом наз-ют также ряд Ʃ an(x-a)^n, где а некоторое постоянное число, а ряд сводится к Ʃ ant^n путем замены переменной х-а=t

Определение: Множество значений переменных х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема (Абеля) Если степенной ряд Ʃ anx^n (0-∞) сходится при некоторых значениях х0≠0, то он сходится (и при том абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющих неравенству │х│˂│х0│

Следствие из Теоремы Абеля: Существует такое число R, что при │х│˂R ряд сходится, а при │х│˃R-расходится. При этом R называют радиусом сходимости, а интеграл (-R,R)-интегральной сходимостью степенного ряда Ʃ anx^n. 2. Вычисление ДИ в декартовой системе координат

Вычисление ДИ в декартовой системе координат. 2 основных вида области интегрирования:

1) область интегрирования D ограничена слева и справа х=а, х=b, (a<b), а снизу и сверху – непрерывными кривыми у=µ1(х), у=µ2(х), [µ1(х)≤µ2(х)], каждая из которых пересекается вертикально прямой только в одной точке

Для такой области ДИ вычисляется по формуле ∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫f(x,y)dy (a-b, µ1(х)-µ2(х)) (1), где сначала вычисляется внутренний интеграл ∫f(x,y)dy, в которых х считается постоянным.

2) Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми у=с и у=d, (с<d), а слева и справа непрерывными кривыми х=ψ1(у), х=ψ2(у), [ψ1(у)≤ψ2(у)], каждая из которых пересекается горизонт прямой только в одной точке.

Для такой области ДИ вычисляется по формуле ∫∫f(x,y)dxdy=∫dу∫f(x,y)dх (с-d, ψ1(у)-ψ2(у)) (2), причем сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором у считается пост-й.

3. у' + у=е в степени -2х

Вариант 9. 1) Нахождение радиуса сходимости степенного ряда

1)Частн. Сл.: If среди коэф ряда а1..аn,… нет равных 0, те ряд сод-т все целые полож степени х, то R нах-т по формуле R=lim │an/an+1│(n→∞) при усл, что этот lim сущ

2)Общ сл.: If среди коэф ряда есть =0, то инт сход можно нах-ть, применяя признак Даламб или пр Коши к ряду, составленному из абсол вел членов исход ряда.

З: If R=0, то ряд Ʃ anx^n (0-∞) сход лишь при х=0. If R=∞, то ряд сход на всей числ прямой.

2)Определение частного приращения функции 2-х переменных.Определение частной производной функции 2-х переменных.Правила дифференцирования.

Производные и диффренциалы ф-ий нескольких перем

О: Разности ∆xz=f(x+∆x,y)-f(x,y) ∆yz=f(x,y+∆y)-f(x,y) наз частным приращением ф z= f(x,y) в т М(х,у) по перем х и у соотв-но.

О: Частной производ ф z= f(x,y) по перем х наз предел отнош част приращ ф по перем х к приращ ∆х, когда ∆х→0 ∂z/∂x=lim ∆xz/∆x

Правила дифф-я: 1)для част произв справедливы обычные правила и формулы дифф-ия 2) при вычисл част произв ф-й неск перем по к/л одной перем, др перем счит-ся постоянными.

3)∑(1+n/1+n^2)^2  (n=1 до ∞)

Билет 10