12

Лекция 2. Различные способы начисления процентов. Простой и сложный проценты

2.1 Простые проценты

На предыдущей лекции мы рассматривали, каким образом начисление процентов происходит единственный раз, т.е. в конце (ссудный процент) или в начале (учетный процент) одного интервала начисления. Рассмотрим, каким образом происходит начисление процентов, если первоначальная сумма увеличивается в результате периодического начисления процентов в течение длительного срока, т.е. на протяжении нескольких интервалов.

Пусть задана первоначальная сумма Р и осуществляется ее наращение или рост, т.е. процесс увеличения первоначальной суммы за счет начисления процентов.

S – наращенная (будущая) сумма;

n – количество интервалов начисления процентов;

i – ставка ссудного процента, по которой проценты начисляются в конце каждого отдельного интервала.

Тогда простые ссудные проценты вычисляются следующим образом:

где – сумма процентов, начисленных за единицу времени.

где – сумма процентов, начисленных за весь срок (период) начисления, т.е. за все (n) интервалы начисления процентов.

Процесс наращения суммы денежных средств за счет начисления про­стых процентов выглядит, как арифметическая прогрессия и представлен на рис. 3: P; P + P*i; P + 2*P*i; PV +……+ 3*P*i, и т.д.

S

S

S

S

Pi

I₂

Pni

P

P

I₁

n₁

n₂

n

2

1

0

0

n

1

2

Рис. 3. Процесс наращения суммы денежных средств за счет начисления простых процентов

P – первоначальная сумма;

S_n – наращенная сумма;

i_n – простая процентная ставка;

n – количество интервалов начисления.

Процесс наращения суммы денежных средств за счет начисления простых процентов за n интервалов имеет вид:

Такой формулой (10) выражается суть практических расчетов, связанных с исчислением:

• суммы погашения ссуды, предоставленной под простые проценты;

• размера срочного вклада с простыми процентами.

Пример 4. Банк выдал ссуду 100000 рублей на 2 года под 10% годовых. Определить подлежащую возврату сумму, если простой процент начисляется каждый год, а долг гасится единовременным платежом.

Решение:

руб.

Но такого вида простые вычисления встречаются редко. Очень часто ссуды выдаются на срок, который выражен не точным числом лет, а некоторым количеством месяцев или дней. Для подобных расчетов чаще пользуются формулой, где аналитически выражен принцип расчета для случаев, когда годовая ставка задана i, а интервал начисления процентов выражен в днях, реже – в месяцах.

Обозначим срок операции (выраженный в днях) через t. Для перевода срока финансовой операции в доли от года используют уравнивающий знаменатель К, обозначающий продолжительность года, выраженный в тех же единицах, что и t.

В формуле (11) срок операции

Эта формула используется при:

• определении абсолютной величины процентов и наращенной суммы в целом при обслуживании вкладов до востребования;

• обслуживании текущих счетов;

• расчете суммы долга с процентами при сроке операции менее года и погашении долга единовременным платежом;

• замене и консолидации платежей;

• определении размера процентных платежей при составле­нии планов амортизации (погашения) задолженности.

Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день.

В зависимости от того, чему принимается равной продолжительность года К (квартала, месяца), выделяют два варианта начисления процентов:

• точные проценты, определяемые исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);

• обыкновенные проценты, определяемые исходя из приближенного числа дней в году, квартале, месяце (соответственно 360, 90, 30).

При определении продолжительности периода t, на который выдана ссуда, также возможны два варианта:

• принимается в расчет точное число дней ссуды (расчет ведется по дням);

• принимается в расчет приблизительное число дней ссуды (исходя из продолжительности месяца 30 дней).

В зависимости от сочетания t и К, измеренных по-разному, на практике встречаются следующие способы расчетов:

1. точные проценты с точным числом дней – t и К измерены точно – это значит начислить точные проценты с фактическим сроком операции.

Для упрощения процедуры расчета точного числа дней (t) пользуются специальными таблицами или специальными компьютерными программами (такими таблицами в зарубежных странах пользовались до перехода к всеобщей компьютеризации банковских расчетов, т.е. до начала XXI века). Одна таблица составлялась для обычного года, вторая для високосного, в них все дни в году были последовательно пронумерованы: из номера дня окончания операции вычитают день ее начала. Обычно такой способ расчетов обозначается 365/365 и применяется в англосаксонских странах (Великобритания, США);

2. обыкновенные проценты с точным числом дней – t измерено точно, a К – приближенно. Такой способ иногда называется банковским и используется для вычисления ссудных процентов с фактическим сроком операции. Поскольку при вычислении знаменатель больше, чем при расчетах в случае 1, т.е. 360, то размер начисленных процентов при прочих равных условиях также будет несколько большим, чем применение точных процентов. Заметим, что при числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, если t = 364, то n = 364/360 = 1,011 . Такой способ обычно обозначают 365/360, и используют в таких странах, как Бельгия, Франция и др.);

3. обыкновенные проценты с приближенным числом дней – t и К измерены приближенно. Этот способ применяется для вычисления ссудных процентов с приближенным сроком операции, при некоторых видах расчетов с населением, например при промежуточных расчетах и обозначают как 360/360 (Германия, Дания, Швеция).

Рассмотрим на конкретном примере, как начисляют проценты разными способами.

Пример 5. Ссуда в размере 60000 рублей выдана 12 марта 2012 года с погашением 15 августа того же года под 32% годовых.

Рассчитать различными способами сумму к погашению, если начисляются простые проценты. Предварительно определим число дней ссуды: точное – 156 дней (228-72), приближенное - 153 дней (18 дней марта (30-12) + 120 (по 30 дней четырех месяцев: апрель, май, июнь, июль) + 15 дней августа). Год високосный, значит число дней в году равно 366.

Решение:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360):

руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):

руб.