Контрольные вопросы и задания

1. Доказать теоремы 2, 3 для бесконечного числа множеств.

2. Доказать, что для любого отображения f выполняется включение f(A Ç B) Í f(A) Ç f(B), а равенство будет только

тогда, когда f является биекцией.

3. Пусть A – произвольное множество из области определения отображения f. Верно ли равенство f ^-1(f(A)) = A?

4. Пусть B – произвольное множество из области значений отображения f. Верно ли равенство f(f ^-1(B)) = B?

Доказать тождества 5, 6.

5. f ^-1(A \ B) = f ^-1(A) \ f ^-1(B).

6. f(A) Ç B = f(A Ç f ^-1(B)).

7. Верно ли равенство f(A \ B) = f(A) \ f(B)? Если нет, то в какую сторону имеет место включение? При каких условиях выполняется тождество?

8. Доказать, что для любой функции f:

а) A Í B Þ f ^-1(A) Í f ^-1(B);

б) A Í B  Þ f(A) Í f(B);

в) f(A) = Æ Û A Ç d_а = Æ;

г) f ^-1(A) = Æ Û A Ç r_а = Æ.

9. Пусть j : A ® B – взаимно однозначное соответствие. Доказать, что:

а)  j ^-1 – взаимно однозначное соответствие между B и A;

б)  j ^-1 o j = i; в)  j o j ^-1 = i.

10. Доказать, что объединение (пересечение) двух отображений f₁ и f₂ из A в B является отображением из A в B тогда и только тогда, когда f₁ = f₂.

11. Доказать, что:

а) f(A) Ç B = Æ Û  A Ç f ^-1(B) = Æ;

б) f(A) Í B Û A Í f ^-1(B).

12. Пусть f : X ® Y, g : Y ® Z, h = g o f и B Í Z. Тогда h ^-1(B) = f ^-1(g ^-1(B)).

13. Найти взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] на отрезок [a, b].

14. Отобразить взаимно однозначно луч [0, +¥) на всю числовую прямую.

15. Построить взаимно однозначное отображение окружности единичного радиуса на отрезок [0, 1].

16. Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом E={(x, y) | x² +y² < 1} и множеством точек плоскости, являющемся дополнением к замкнутому единичному кругу (замкнутый круг – K={(x, y) | x² +y² £ 1}.

17. Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом.

18. Установить взаимно однозначное соответствие между окружностью и прямой.

19. Установить взаимно однозначное соответствие между сферой с одной выколотой точкой и плоскостью.

20. Установить взаимно однозначное соответствие между сферой и плоскостью.

21. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех многочленов с рациональными коэффициентами и множеством всех натуральных чисел.

22. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех конечных подмножеств натурального ряда чисел и множеством натуральных чисел.

23. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех последовательностей действительных чисел и множеством всех последовательностей натуральных чисел.

24. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех последовательностей натуральных чисел и множеством всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел.

25. Установить взаимно однозначное соответствие между

множеством всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел и множеством всех бесконечных двоичных дробей, которые соответствуют числам интервала (0, 1].

26. Верно ли утверждение: "Если A ~ C, B ~ D, причем A É B, C É D, то A \ B ~ C \ D"?

27. Пусть A É C, B É D, C È D ~ C. Доказать, что A È D~A.

28. Верно ли утверждение: "Если A ~ B, C É A, C É B, то C \ A ~ C \ B"?

29. Верно ли утверждение: "Если A ~ B, A É C, B É C, то A \ C ~ B \ C"?