Контрольные вопросы и задания

1. Доказать, что нестрогое включение обладает свойством рефлексивности: A Í A.

2. Показать, что {{1,2}, {2,3}} ¹ {1, 2, 3}.

4. Доказать, что А D В = (А È В) \ (А Ç В).

5. Доказать, что множество корней многочлена y(x) = f(x)×j(x) есть объединение множеств корней многочленов f(x) и j(x).

6. Доказать, что пересечение множеств действительных корней многочленов f(x) и j(x) совпадает с множеством действительных корней многочлена y(x) = f ² (x) + j² (x).

Доказать тождества (7 – 12).

7. (AÇB) È (CÇD) = (AÈC) Ç (BÈC) Ç (AÈD) Ç (BÈD).

8. (A \ B) È (B \ C) È (C \ A) È (A Ç B Ç C) = A È B È C.

9. A \ (BÈC) = (A \ B)Ç(A \ C) = (A \ B)\ C = (A \ C)\ (B \C).

10. A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C).

11. (AÇB)\ C = (A \ C)Ç(B \ C) = AÇ(B \ C) = (AÇB)\(AÇC).

12. (AÈB) \ C = (A \ C) È (B \ C).

Доказать включения (13 –17).

13. [ (B \ C) \ (B \ A) ] Í A \ C.

14. A \ C Í [(A \ B) È (B \ C)].

15. [(A Ç C) È (B Ç D)] Í [(A È B) Ç (C È D)].

16. [(A₁ \ A₂) D (B₁ \ B₂)] Í [(A₁ D B₁) È (A₂ D B₂)].

17. A D B Í [(A D C) È (B D C)].

18. Вытекает ли из A \ B = C, что A = B È C?

19. Вытекает ли из A = B È C, что A \ B = C?

20. Верны ли равенства:

а) A È (B \ C) = (A È B) \ C; б) (A \ B) È C = (A È C) \ B?

Если нет, то в какую сторону имеет место включение?

21. Доказать равносильность включений A \ B Í C и A Í (B È C).

3. Отображения

Пусть X и Y – два произвольных множества. Говорят, что на X определено отображение f, принимающее значения из Y (f : X® Y), если каждому элементу x из X ставится в соответствие единственный элемент y = f(x) из Y.

Множество элементов xÎX, для которых определено отображение f, называется областью определения f и обозначается d_f.

Если имеется какой-либо элемент хÎX, то соответствующий ему элемент yÎY будем называть образом x. Пусть A – некоторое подмножество множества X (AÍX), образ множества A определяется как множество образов элементов множества A и обозначается f(A), т.е. f(A) = {f(x) | xÎA}. Образ области определения называется областью значений отображения f и обозначается r_f (т.е. r_f = f(d_f) = f(X)).

Если задать yÎY, то множество соответствующих ему x, т.е. таких, что y = f(x), будем называть прообразом y и обозначать f ^-1(y), f ^-1(y) = {xÎX | y = f(x)}. В общем случае обратное отображение f ^-1 неоднозначно. Пусть B – некоторое подмножество множества Y (BÍY), прообраз множества B определяется как множество прообразов элементов множества B и обозначается f ^-1(B), т.е. f ^-1(B) = { xÎA | f(x)=y, y Î B}.

Отображение i : X ® X такое, что i(x) = x для любого xÎX называется тождественным отображением.

Задача 1. Доказать, что f(A) Í B Û A Í f ^-1(B).

Решение.

1) Пусть  f(A)ÍB и xÎA. Тогда f(x)Îf(A), а в силу f(A)ÍB справедливо f(x)ÎB, что означает xÎf ^-1(B). Следовательно, AÍ Íf ^-1(B).

2) Докажем, что f(A)ÍB при условии AÍf ^-1(B). Пусть yÎf(A),  это значит, что y=f(x), где xÎA. Из включения AÍf ^-1(B) следует, что xÎf ^-1(B). Тогда y=f(x)Îf(f ^-1(B)) = B. Что и требовалось доказать.

Задача 2. Можно ли построить сюръективное отображение вида

множества целых чисел на множество рациональных чисел, где коэффициенты a₀, a₁, . . . , a_т, b₀, b₁, . . . , b_ь - целые числа?

Решение.

Такое отображение построить нельзя. Любая функция f(x), представимая в виде частного от деления двух многочленов, имеет конечный или бесконечный предел при x®¥. Если f(x) = q < ¥, то существует такое N, что для всех k, таких, что |k|>N, выполнены неравенства q-1< f(x)< q+1. Если отображение f является сюръекцией, то конечное множество целых чисел k : |k| £ N отображается на бесконечное множество рациональных чисел r, лежащих в множестве (- ¥,q-1]È[q+1,+¥), что невозможно. Следовательно, не для каждого рационального r существует прообраз в множестве целых чисел.

 Если f(x) = ¥, то рассуждения аналогичны (в этом случае конечное множество целых чисел k, таких, что |k| £ N, отображалось бы на множество рациональных чисел отрезка [-A, A], что невозможно. Следовательно, это отображение также не является сюръективным.

Задача 3. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех последовательностей натуральных чисел и множеством всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел.

Решение. Рассмотрим произвольную последовательность натуральных чисел

n₁, n₂, . . . , n_k, . . .

Поставим ей в соответствие возрастающую последовательность

m₁< m₂< . . . < m_k< . . . ,

где m₁=n₁, m₂=m₁+n₂, . . . , m_k=m_k-1+n_k, . . . Легко видеть, что это соответствие - взаимно однозначное.

Задача 4. Доказать, что если A \ B ~ B \ A, то A ~ B.

Решение. Для произвольных множеств A и B справедливо равенство A =(A\B)È(AÇB), где (A\B)Ç(AÇB)=Æ. Аналогично B=(B\A)È(AÇB), где (B\A) Ç (AÇB)=Æ. Так как оба множества A и B являются объединением непересекающихся множеств, A\B~B\A по условию и (AÇB)~(AÇB), то A~B.