МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВО

“Воронежский государственный УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНЫХ технологиЙ”

Кафедра информационных технологий,

моделирования и управления

МНОЖЕСТВА. ЭЛЕМЕНТЫ

КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА

Методические указания

к практическим занятиям

Для студентов, обучающихся по направлениям

09.03.02 – “Информационные системы и технологии”

09.03.03 – “Прикладная информатика”

очной формы обучения

ВОРОНЕЖ

2016

УДК 517.8; 519.1

Множества. Элемента комбинаторного анализа [Электронный ресурс] : метод. указания к практическим занятиям / Воронеж. гос. ун-т инж. технол.; сост. Ю. В. Бугаев, И. Ю. Шурупова,. – Воронеж: ВГУИТ, 2016. – 32 с. – [ЭИ]

Методические указания разработаны в соответствии с требованиями ФГОС ВО подготовки выпускников по направлениям 09.03.02 – “Информационные системы и технологии”, 09.03.03 – “Прикладная информатика”. Они предназначены для закрепления теоретических знаний дисциплин “Теоретические основы информационных технологий”, “Теоретическая информатика”.

Библиогр.: 5 назв.

Составители: профессор Ю.В. БУГАЕВ,

доцент И.Ю. ШУРУПОВА,

ассистент Д.А. ЛИТВИНОВ

Научный редактор доцент Л.А. КОРОБОВА

Рекомендуется к размещению

в ЭОС и ЭБ ВГУИТ

 Бугаев Ю.В., Шурупова И.Ю.,

Литвинов Д.А., 2016

• ФГБОУ ВО “Воронежский

государственный университет

инженерных технологий”, 2016

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.

1. Метод математической индукции

Метод математической индукции – универсальный способ доказательства утверждений, зависящих от натурального аргумента n. Он основан на следующем принципе математической индукции: утверждение справедливо для любого натурального , если:

1⁰ оно справедливо для n = n₀;

2⁰ из того, что оно верно для всех n £ k (k ³ n₀) следует его справедливость для n = k + 1.

Этот принцип, являющийся одной из аксиом натурального ряда можно перефразировать так: если в цепочке утверждений первое утверждение верно, а из справедливости следует справедливость , то вся цепочка состоит из верных утверждений.

Задача 1. Найти сумму .

Решение. Имеем: ; ; ; . Есть подозрение, что . Докажем эту формулу.

1⁰. При n₀ = 1 – формула верна.

2⁰. Предположим, что для произвольного k ³1 для всех n£ k . В частности, для n = k . Найдем . Имеем . По предположению это равно

= = = ,

что и требовалось доказать.

Однако индуктивное утверждение может быть неверным, простая индукция позволяет лишь выдвинуть гипотезу, которую надо доказать. Например, анализируя числа 1, 3, 5, 7 можно прийти к неверному заключению, что все нечетные числа являются простыми.

“Докажем”, что все натуральные числа равны между собой. Предположим, что k = k + 1. Прибавим по 1 к обеим частям этого равенства. Получим k + 1 = k + 2, что и требовалось доказать. Ошибка этого “доказательства” состоит в отсутствии проверки утверждения при n₀ = 1.

Задача 2. Доказать неравенство 2ⁿ > 2n + 1 при n ³ 3.

Решение.

1⁰. При n₀ = 3 имеем 2³ > 7 верное неравенство.

2⁰. 2^{k + 1}= 2×2^k > 2(2k + 1) = 4k + 2 = (2k + 3) + (2k – 1) > 2k + 3.

Задача 3. Доказать, что для любого n ³ 0 число 11ⁿ⁺² +12²ⁿ⁺¹ делится на 133.

Решение.

1⁰. 11² + 12¹ = 133 – верно при n = 0.

2⁰. 11^{k +3} + 12^{2(k + 1) +1} = 11×11^{k + 2} + 144×12^{2k + 1} = (144–133) ×11^{k + 2} + +144×12^{2k + 1} = 144 × (11^{k + 2} + 12^{2k + 1}) – 133×11^{k + 2}.

В полученной разности уменьшаемое делится на 133 по предположению, а вычитаемое содержит множитель 133. Следовательно, все выражение делится на 133.

Контрольные вопросы и задания

1. Доказать формулу S_n = 1²+2²+3²+…+n² = n(n +1)(2n +1)/6.

2. Обозначим H_n = 1 + 1/2 + 1/3 +…+ 1/n – гармонические числа. Доказать, что Н_n неограниченно сверху, т.е. что Н_n ® +¥ ( ).

3. Доказать, что любую сумму денег более 7 копеек можно уплатить монетами достоинством 3 и 5 копеек.

4. Найти формулы для вычисления:

а)

б)

Доказать формулы и утверждения (5 – 18).

5.

6. .

7. При любом х ¹ 1, .

8. Сумма кубов трех последовательных натуральных чисел n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ делится на 9.

9. Выражение делится без остатка на 9.

10. Число диагоналей выпуклого n-угольника k = n(n –2) /2.

11. Последовательность а_n = (n корней) возрастает.

12. cos a×cos 2a×… ×cos 2ⁿa = .

13.

14. .

15. .

16.

17.

18.

2. Множества. Операции над множествами

Множеством называется совокупность некоторых предметов, объединенных общим признаком. Элементы множества – это те предметы, из которых состоит множество.

Множество А нестрого включено в множество В (обозначается АÍВ) если для любого хÎА, следует что хÎB. Нестрогое включение не исключает совпадения множеств.

Множество А строго включено в множество В (обозначается АÌВ) если:

1. АÍВ;

2. существует yÎB, такой, что yÏB.

Множество А совпадает с множеством В (А = В), если все элементы множества В являются элементами множества В и все элементы множества В являются элементами множества А, т.е.

(АÍВ и ВÍА) Û (А = В).

Большинство утверждений теории множеств связано с равенством двух множеств и включением одного множества в другое. Поэтому детально разберёмся в методах доказательства этих фактов.

1. Доказательство включения АÍВ. Для этого нужно доказать, что любой элемент x, принадлежащий множеству А одновременно является элементом множества В, т.е.

(" x Î А)  Þ (x Î В).

2. Доказательство включения АÌВ состоит из двух частей:

1. АÍВ;

2. $ y: y Î B и y Ï A.

3. Доказательство равенства А = В сводится к доказательству двух включений А Í В и В Í А.

Задача 1. Доказать тождество AÇ(B \ C) = (AÇB)\(AÇC).

Решение. I способ.

1) Пусть произвольный элемент xÎAÇ(B\C), тогда xÎA, xÎB и xÏC. Так как xÎA и xÎB, то xÎAÇB, а из xÏC следует, что xÏAÇC. Но тогда по определению разности xÎ(AÇB)\(AÇC).

2) Пусть теперь xÎ(AÇB)\(AÇC), покажем, что xÎ AÇ(B \ C). Из условия следует, что xÎAÇB и xÏAÇC. Первое свойство означает, что xÎA и xÎB, второе - xÏA или xÏC. Так как при xÏA получим противоречие со свойством xÎA, то остается лишь случай xÏC. Поэтому имеем xÎA, xÎB и xÏC. Но тогда xÎA и xÎB \ C и, следовательно, xÎ AÇ(B \ C).

II способ.

(AÇB) \ (AÇC) = = = = = = = AÇ(B \ C)

В доказательствах будем также использовать следующие краткие обозначения, для того чтобы расписать принадлежность элемента множеству, построенному с помощью операций над множествами.

Û Û

Фигурная скобка и запятая здесь, как и прежде, обозначает выполнение обоих свойств.

Û

Квадратная скобка означает выполнение хотя бы одного из свойств, т. е. доказательство в дальнейшем распадается на 2 случая, которые и далее объединяются квадратной скобкой.

Û

Û

Распишем также, что означает, что элемент не принадлежит множеству, построенному с помощью операций над множествами.

Û

Û

Û

Û

Задача 2. Доказать, что для любых множеств A₁, A₂, . . . , A_n если справедливы включения A₁ Í A₂ Í ... Í A_n Í A₁, то A₁ = A₂ = ... =A_n.

Решение.

Для любого множества отличного от A₁, в силу транзитивности отношения нестрогого включения, получим A₁ Í A_i Í A₁. А, следовательно, A₁ = A_i для любого i, и все множества совпадают.

Так тождества A Ç (B \ C) = (AÇB) \ (AÇC) = (AÇB) \ C = =(A \ C) Ç (B \ C) можно доказать с помощью цепи включений

AÇ(B\C) Í (AÇB)\(AÇC) Í (AÇB)\CÍ (A\C)Ç(B\C) Í AÇ(B\C).

Задача 3. Доказать, что A Í (B Ç C) Û A Í B и A Í C;

Решение. Докажем, что из AÍ(BÇC) следует AÍB и AÍC. Для этого необходимо показать, что если выполнено включение посылки, т.е. AÍBÇC, то выполняются и оба включения следствия.

Пусть xÎA, тогда по условию xÎBÇC, а, следовательно, xÎB и xÎC. Поэтому справедливы включения AÍB и AÍC.

Докажем обратное следствие. Пусть выполнены оба включения AÍB и AÍC. То есть из xÎA вытекает, что xÎB и xÎC. Но это означает, что xÎBÇC. Следовательно, требуемое включение доказано.

Задача 4. Решить систему уравнений .

Решение. Так как A \ X=B, то BÍA, XÇB=Æ, A\BÍX и AÍXÈB. Выполнение первых двух свойств очевидно.

Докажем справедливость третьего включения. Пусть xÎA \ B, тогда xÎA и xÏB. Покажем, что xÎX. Предположим противное, т.е. xÏX, тогда из B = A \ X получим xÎB, что противоречит условию. Следовательно, xÎX.

Так как BÍA, то A = (A \ B) È B. Из этого равенства и условия A \ B Í X следует, что A Í X È B.

Аналогично из X \ B = A следует, что C Í X, A Ç C = Æ, X Í A È C и X \ C Í A. Так как A \ B Í X и C Í X, то (A \ B) È C Í X. Кроме того, из X Í A È C, B Í A и X Ç B = Æ следует, что XÍ(A\B)ÈC. Поэтому X=(A\B)ÈC, где BÍA и AÇC=Æ.