Пример выполнения работы.

1. Даны множества; , , . Найти:

   1. ;

   2. ;

Даны множества; , , . Найти:

3. ;

4. .

Решение.

1. = [1; 7)

2. = [4; 7) = [4; 5]

3. = 

4. = {4} = {1; 2} = {1; 2; 4}

2. Доказать тождество A(B \ C) = (AB) \ (AC).

Решение.

a) I способ. Докажем два нестрогих включения.

1) Прямое включение A(B \ C)  (AB) \ (AC).

    

2) Обратное включение (A B) \ (AC)  A(B \ C).

    , так как в 1-м случае имеем противоречие    

b) II способ.

(AB) \ (AC) = = = = = = = A(B \ C)

3. Доказать включение множеств

(A₁  A₂)  (B₁  B₂)  (A₁  B₁)  (A₂  B₂).

Решение.

 

   

 

4. Доказать, что A  B  C  A  B и A  C.

Решение.

1. Докажем прямое следование, т.е. ABC  AB и AC.

Пусть справедливо включение , покажем, что AB и

AC.

Что и означает выполнение обоих включений .

2. Докажем обратное следование AB и AC  ABC.

Пусть выполнены оба включения , покажем, что ABC.

.

Следовательно .

Контрольные вопросы

1. Дайте определения операций дополнения, пересечения, объединения, разности и симметричной разности множеств. Приведите примеры выполнения операций.

2. Сформулируйте отрицание принадлежности элемента множествам, построенных с помощью операций над множествами.

3. Приведите способы доказательства отношений нестрогого, строгого включения и равенства множеств.

Задание для лабораторной работы.

1. Для множеств варианта выполнить операции над множествами.

2. Доказать равенство множеств 2-мя способами:

   1. по определению равенства множеств, доказав два нестрогих включения;

   2. с использованием свойств операций.

3. Доказать включение множеств.

4. Доказать или опровергнуть утверждения о следовании или эквивалентности отношений между множествами.

Лабораторная работа №2

НЕЧЁТКИЕ МНОЖЕСТВА

Цель работы: изучение способов построения нечётких множеств и операций над нечёткими множествами.

Теоретические сведения

Нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A ={_A(х)/х}, где _A(х) – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M=[0,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0, 1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M = [0,1]; A – нечеткое множество, для которого _A(x₁)=0,3; _A(x₂)=0; _A(x₃)=1; _A(x₄)=0,5; _A(x₅)=0,9. Тогда множество A можно представить в виде: A = {0,3/x₁; 0/x₂; 1/x₃; 0,5/x₄; 0,9/x₅} или

A = 0,3/x₁  0/x₂  1/x₃  0,5/x₄  0,9/x₅ или

A =	x1 x2 x3 x4 x5 0,3 0 1 0,5 0,9

Для построения функции принадлежности могут использоваться прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого xE значение _A(x), либо определяет функцию совместимости. При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо, и каждый должен дать один из двух ответов: “этот человек лысый” или “этот человек не лысый”, тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение _"лысый" (данного лица). Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, _A(x_i) = w_i, i = 1, 2, ..., n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {a_ij}, где a_ij = w_i / w_j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали a_ij = 1/a_ji. Доказано, что в общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида Аw = _maxw, где _max – наибольшее собственное значение матрицы A. Имеет место теорема Перрона, согласно которой для матрицы А с положительными элементами решение данной задачи существует и является положительным.

В случае идеальной согласованности экспертных оценок должно выполняться соотношение . (1)

В этом случае _max совпадает с n – размерностью матрицы А. В случае нарушения условия (1) _max меньше n. Таким образом, величина разности _max – n может служить мерой согласованности экспертных оценок.

Выполнить операции с нечёткими множествами означает построить функции принадлежности множеств, получившихся в результате. Эти функции определяются с помощью функций принадлежности исходных множеств.

1. Дополнение.

2. Пересечение.

AB – наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B;

_{A  B}(x) = min{_A(x), _B(x)}.

3. Объединение.

А  В – наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности

_{A B}(x) = max {(_A(x), _B(x)}.

4. Разность.

А \ B = А  с функцией принадлежности:

_A\B(x) = min { _A(x), 1 – _B(x)}.