Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет - УПИ»
Кафедра технологии и средства связи
Исследование точности численного интегрирования
Отчет по курсовой работе дисциплины «Информатика»
Студент Лаптев С.
гр. Р-200802 ________________ ______________
дата сдачи работы Подпись
Преподаватель _________________ _______________ Плохих О.В.
дата приема работы Подпись
Екатеринбург
2011
Оглавление
1. Задание исследования 3
2. Подробное описание задачи и способы ее решения 3
Метод трапеций 3
Метод Симпсона 3
3. Результаты исследований 4
3.1. Сравнениерезультатов 21
4. Выводы 22
5. Приложение 23
5.1. Описание применения 23
5.1.1. Назначение программы 23
5.1.2. Условия применения 23
5.1.3. Описание значения 23
5.2. Программа и методика испытаний 24
5.2.1. Объект испытаний 24
5.2.2. Цель испытаний 24
5.2.3. Требования к программе 24
5.2.4. Требования к программной документации 24
5.2.5. Средства и порядок испытаний 24
5.2.6. Метод испытаний 24
5.3. Руководство пользователя 27
5.3.1. Назначение программы 27
5.3.2. Условия и характеристики программы 27
5.3.3. Выполнение программы 27
5.3.4. Сообщения программы 27
5.3.5. Входные и выходные данные 27
5.3.6. Сборка программы 27
5.4. Описание программы 28
5.4.1. Общие сведения 28
5.4.2. Функциональное назначение 28
5.4.3. Описание логической структуры 28
5.4.4. Используемые технические средства 29
5.4.5. Вызов и загрузка 29
5.4.6. Входные и выходные данные 29
5.5. Текст программы 30
Задание исследования
Провести исследование внутренней сходимости численного интегрирования методом Симпсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью языка С++.
Подробное описание задачи и способы ее решения
Необходимо провести исследования так называемой внутренней сходимости численного интегрирования методами трапеций и Симпсона различных функций, задаваемых с помощью функций языка С++. Предполагается, что отрезок интегрирования [a,b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой).
Контроль внутренней сходимости заключается в циклическом вычислении приближенных значений интеграла для удваимого по сравнению со значением на предыдущем прохождении цикла числа n. Отношения абсолютной величины разности этих значений к абсолютной величине предыдущего приближенного значения принимается в качестве критерия достижения точности интеграла.
Построить зависимости количеств итераций от различных величин критерия точности.
Построить обратные зависимости критерия точности от количества итераций.
Повторить все вышеуказанные исследования для случая, когда при вычислении критерия точности разность значений интеграла относится не к предыдущему значению, а к точному значению аналитически вычисленного интеграла.
Исследовать влияние увеличения верхнего предела интегрирования на точность (при прочих неизменных условиях).
Метод трапеций
Метод Симпсона
Результаты исследований
Таблицы и графики зависимостей количества итераций от различных величин критерия точности для интегралов, вычисленных методом трапеций:
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0001642 |
1 |
0,0000554 |
2 |
0,0000199 |
3 |
0,0000097 |
4 |
0,000003 |
5 |
0,0000024 |
6 |
0,000021 |
7 |
0,0001352 |
8 |
0,0004427 |
9 |
0,0017771 |
10 |
0,0070933 |
11 |
0,0733414 |
12 |
0,1639168 |
13 |
0 |
14 |
0,1591954 |
15 |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0000435 |
1 |
0,0000246 |
2 |
0,0000098 |
3 |
0,0000027 |
4 |
0,0000054 |
5 |
0,0000034 |
6 |
0,0000111 |
7 |
0,0000371 |
8 |
0,0003384 |
9 |
0,0005241 |
10 |
0,0024769 |
11 |
0,0193195 |
12 |
0,0460816 |
13 |
0,0891634 |
14 |
0,1816833 |
15 |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0000009 |
1 |
0,0000005 |
2 |
0,000001 |
3 |
0,0000016 |
4 |
0,0000005 |
5 |
0,000001 |
6 |
0,0000223 |
7 |
0,000056 |
8 |
0,0003561 |
9 |
0,0002782 |
10 |
0,0003474 |
11 |
0,0066709 |
12 |
0,0042367 |
13 |
0,0053266 |
14 |
0,0052932 |
15 |
Критерийточности |
Количество итераций |
0,7210944 |
1 |
5,7138805 |
2 |
0,5115891 |
3 |
0,1587429 |
4 |
0,2640994 |
5 |
0,273518 |
6 |
0,7462801 |
7 |
0,1349342 |
8 |
0,1746383 |
9 |
0,322107 |
10 |
61,4329529 |
11 |
1,0215764 |
12 |
0,0930657 |
13 |
0,0566663 |
14 |
0,0027258 |
15 |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0000017 |
1 |
0,0000075 |
2 |
0,000004 |
3 |
0,0000028 |
4 |
0,0000031 |
5 |
0,0000033 |
6 |
0,0000019 |
7 |
0,0000064 |
8 |
0,0000001 |
9 |
0,0000386 |
10 |
0,0000803 |
11 |
0,0007838 |
12 |
0,0016693 |
13 |
0,0005451 |
14 |
0,0119303 |
15 |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0000001 |
1 |
0,0000118 |
2 |
0,0000105 |
3 |
0,0000047 |
4 |
0,000003 |
5 |
0,0000023 |
6 |
0,0000019 |
7 |
0,0000048 |
8 |
0,0000013 |
9 |
0,0000021 |
10 |
0,0000579 |
11 |
0,0001056 |
12 |
0,0012424 |
13 |
0,0027928 |
14 |
0,0026273 |
15 |
Таблицы и графики зависимостей количества итераций от различных значений критерия точности для интегралов, вычисленных методом Симпсона:
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0000366 |
1 |
0,0000148 |
2 |
0,0000097 |
3 |
0,0000029 |
4 |
0,000005 |
5 |
0,0000158 |
6 |
0,0000078 |
7 |
0,0001184 |
8 |
0,000019 |
9 |
0,000466 |
10 |
0,0069997 |
11 |
0,0210596 |
12 |
0,0596227 |
13 |
0,0416028 |
14 |
0,1333978 |
15 |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0000529 |
1 |
0,0000309 |
2 |
0,0000055 |
3 |
0,0000206 |
4 |
0,0000275 |
5 |
0,0000172 |
6 |
0,0000026 |
7 |
0,0000373 |
8 |
0,0001679 |
9 |
0,0009911 |
10 |
0,001429 |
11 |
0,0012871 |
12 |
0,0251969 |
13 |
0,0904129 |
14 |
0,1624286 |
15 |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0002614 |
1 |
0,0001696 |
2 |
0,0000683 |
3 |
0,0000173 |
4 |
0,000005 |
5 |
0,0000016 |
6 |
0,0000146 |
7 |
0,0000081 |
8 |
0,0000532 |
9 |
0,0001906 |
10 |
0,0000148 |
11 |
0,0016623 |
12 |
0,0047355 |
13 |
0,0001972 |
14 |
0,0441604 |
15 |
Критерийточности |
Количество итераций |
1,3475398 |
1 |
299,5162048 |
2 |
0,6511438 |
3 |
0,769284 |
4 |
0,831215 |
5 |
1,4512321 |
6 |
0,2898597 |
7 |
0,4690856 |
8 |
0,1021232 |
9 |
0,0488429 |
10 |
0,2428324 |
11 |
0,3262224 |
12 |
0,0297503 |
13 |
0,0498698 |
14 |
0,0221329 |
15 |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,001854 |
1 |
0,0011909 |
2 |
0,0008299 |
3 |
0,0000531 |
4 |
0,0001553 |
5 |
0,0000502 |
6 |
0,0000104 |
7 |
0,0000078 |
8 |
0,0000058 |
9 |
0,000028 |
10 |
0,0000372 |
11 |
0,0001925 |
12 |
0,0004425 |
13 |
0,0016719 |
14 |
0,0065919 |
15 |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0023198 |
1 |
0,0015105 |
2 |
0,0010463 |
3 |
0,0005129 |
4 |
0,0001719 |
5 |
0,0000787 |
6 |
0,0000228 |
7 |
0,0000053 |
8 |
0,0000017 |
9 |
0,0000023 |
10 |
0,0000167 |
11 |
0,000088 |
12 |
0,0000317 |
13 |
0,0013675 |
14 |
0,0006897 |
15 |
Обратные зависимости критерия точности от количества итераций:
Сравнительная таблица значений критерия,полученных по отношению к предыдущему значению и по отношению к аналитическому значению для интеграла, вычисленного методом трапеций:
По отношению к предыдущему значению |
По отношению к аналитическому значению |
||
Критерийточности |
Количествоитераций |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0001642 |
1 |
0,0000916 |
1 |
0,0000554 |
2 |
0,0000361 |
2 |
0,0000199 |
3 |
0,0000162 |
3 |
0,0000097 |
4 |
0,0000065 |
4 |
0,000003 |
5 |
0,0000035 |
5 |
0,0000024 |
6 |
0,0000059 |
6 |
0,000021 |
7 |
0,000015 |
7 |
0,0001352 |
8 |
0,0001503 |
8 |
0,0004427 |
9 |
0,0005929 |
9 |
0,0017771 |
10 |
0,0023689 |
10 |
0,0070933 |
11 |
0,0094454 |
11 |
0,0733414 |
12 |
0,0632033 |
12 |
0,1639168 |
13 |
0,1110735 |
13 |
0 |
14 |
0,1110735 |
14 |
0,1591954 |
15 |
0,2525865 |
15 |
По отношению к предыдущему значению |
По отношению к аналитическому значению |
||
Критерийточности |
Количествоитераций |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0000435 |
1 |
0,0000444 |
1 |
0,0000246 |
2 |
0,0000198 |
2 |
0,0000098 |
3 |
0,00001 |
3 |
0,0000027 |
4 |
0,0000073 |
4 |
0,0000054 |
5 |
0,0000019 |
5 |
0,0000034 |
6 |
0,0000053 |
6 |
0,0000111 |
7 |
0,0000058 |
7 |
0,0000371 |
8 |
0,0000428 |
8 |
0,0003384 |
9 |
0,0002955 |
9 |
0,0005241 |
10 |
0,0002287 |
10 |
0,0024769 |
11 |
0,002705 |
11 |
0,0193195 |
12 |
0,0165622 |
12 |
0,0460816 |
13 |
0,0302826 |
13 |
0,0891634 |
14 |
0,1167459 |
14 |
0,1816833 |
15 |
0,2772185 |
15 |
По отношению к предыдущему значению |
По отношению к аналитическому значению |
||
Критерийточности |
Количествоитераций |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0000009 |
1 |
0,0000002 |
1 |
0,0000005 |
2 |
0,0000007 |
2 |
0,000001 |
3 |
0,0000002 |
3 |
0,0000016 |
4 |
0,0000018 |
4 |
0,0000005 |
5 |
0,0000014 |
5 |
0,000001 |
6 |
0,0000004 |
6 |
0,0000223 |
7 |
0,0000219 |
7 |
0,000056 |
8 |
0,000078 |
8 |
0,0003561 |
9 |
0,0002781 |
9 |
0,0002782 |
10 |
0 |
10 |
0,0003474 |
11 |
0,0003474 |
11 |
0,0066709 |
12 |
0,0063258 |
12 |
0,0042367 |
13 |
0,0105358 |
13 |
0,0053266 |
14 |
0,0052653 |
14 |
0,0052932 |
15 |
0 |
15 |
По отношению к предыдущему значению |
По отношению к аналитическому значению |
||
Критерийточности |
Количествоитераций |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,7210944 |
1 |
Не определен |
2 |
5,7138805 |
2 |
Не определен |
3 |
0,5115891 |
3 |
Не определен |
4 |
0,1587429 |
4 |
Не определен |
5 |
0,2640994 |
5 |
Не определен |
6 |
0,273518 |
6 |
Не определен |
7 |
0,7462801 |
7 |
Не определен |
8 |
0,1349342 |
8 |
Не определен |
9 |
0,1746383 |
9 |
Не определен |
10 |
0,322107 |
10 |
Не определен |
11 |
61,4329529 |
11 |
Не определен |
12 |
1,0215764 |
12 |
Не определен |
13 |
0,0930657 |
13 |
Не определен |
14 |
0,0566663 |
14 |
Не определен |
15 |
0,0027258 |
15 |
Не определен |
16 |
По отношению к предыдущему значению |
По отношению к аналитическому значению |
||
Критерийточности |
Количествоитераций |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0000017 |
1 |
0,0000106 |
1 |
0,0000075 |
2 |
0,0000181 |
2 |
0,000004 |
3 |
0,0000221 |
3 |
0,0000028 |
4 |
0,0000249 |
4 |
0,0000031 |
5 |
0,0000281 |
5 |
0,0000033 |
6 |
0,0000314 |
6 |
0,0000019 |
7 |
0,0000333 |
7 |
0,0000064 |
8 |
0,0000269 |
8 |
0,0000001 |
9 |
0,000027 |
9 |
0,0000386 |
10 |
0,0000116 |
10 |
0,0000803 |
11 |
0,0000919 |
11 |
0,0007838 |
12 |
0,000692 |
12 |
0,0016693 |
13 |
0,0009761 |
13 |
0,0005451 |
14 |
0,0015218 |
14 |
0,0119303 |
15 |
0,0104267 |
15 |
По отношению к предыдущему значению |
По отношению к аналитическому значению |
||
Критерийточности |
Количествоитераций |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0000001 |
1 |
0,0000172 |
1 |
0,0000118 |
2 |
0,000029 |
2 |
0,0000105 |
3 |
0,0000395 |
3 |
0,0000047 |
4 |
0,0000442 |
4 |
0,000003 |
5 |
0,0000471 |
5 |
0,0000023 |
6 |
0,0000494 |
6 |
0,0000019 |
7 |
0,0000475 |
7 |
0,0000048 |
8 |
0,0000522 |
8 |
0,0000013 |
9 |
0,000051 |
9 |
0,0000021 |
10 |
0,0000488 |
10 |
0,0000579 |
11 |
0,0000091 |
11 |
0,0001056 |
12 |
0,0001147 |
12 |
0,0012424 |
13 |
0,0011278 |
13 |
0,0027928 |
14 |
0,0016618 |
14 |
0,0026273 |
15 |
0,0009698 |
15 |
Сравнительная таблица значений критерия,полученных по отношению к предыдущему значению и по отношению к аналитическому значению для интеграла, вычисленного методом Симпсона:
По отношению к предыдущему значению |
По отношению к аналитическому значению |
||
Критерийточности |
Количествоитераций |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0000366 |
1 |
0,0000367 |
1 |
0,0000148 |
2 |
0,0000515 |
2 |
0,0000097 |
3 |
0,0000612 |
3 |
0,0000029 |
4 |
0,0000584 |
4 |
0,000005 |
5 |
0,0000534 |
5 |
0,0000158 |
6 |
0,0000376 |
6 |
0,0000078 |
7 |
0,0000298 |
7 |
0,0001184 |
8 |
0,0000886 |
8 |
0,000019 |
9 |
0,0000696 |
9 |
0,000466 |
10 |
0,0005357 |
10 |
0,0069997 |
11 |
0,0075391 |
11 |
0,0210596 |
12 |
0,0136792 |
12 |
0,0596227 |
13 |
0,0724863 |
13 |
0,0416028 |
14 |
0,1110735 |
14 |
0,1333978 |
15 |
0,2296544 |
15 |
По отношению к предыдущему значению |
По отношению к аналитическому значению |
||
Критерийточности |
Количествоитераций |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0000529 |
1 |
0,0000535 |
1 |
0,0000309 |
2 |
0,0000844 |
2 |
0,0000055 |
3 |
0,0000899 |
3 |
0,0000206 |
4 |
0,0000693 |
4 |
0,0000275 |
5 |
0,0000418 |
5 |
0,0000172 |
6 |
0,0000246 |
6 |
0,0000026 |
7 |
0,000022 |
7 |
0,0000373 |
8 |
0,0000593 |
8 |
0,0001679 |
9 |
0,0002272 |
9 |
0,0009911 |
10 |
0,0007638 |
10 |
0,001429 |
11 |
0,0021938 |
11 |
0,0012871 |
12 |
0,0009039 |
12 |
0,0251969 |
13 |
0,0243158 |
13 |
0,0904129 |
14 |
0,1125302 |
14 |
0,1624286 |
15 |
0,2566807 |
15 |
По отношению к предыдущему значению |
По отношению к аналитическому значению |
||
Критерийточности |
Количествоитераций |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0002614 |
1 |
0,0002623 |
1 |
0,0001696 |
2 |
0,0000927 |
2 |
0,0000683 |
3 |
0,0000245 |
3 |
0,0000173 |
4 |
0,0000072 |
4 |
0,000005 |
5 |
0,0000022 |
5 |
0,0000016 |
6 |
0,0000038 |
6 |
0,0000146 |
7 |
0,0000184 |
7 |
0,0000081 |
8 |
0,0000103 |
8 |
0,0000532 |
9 |
0,0000635 |
9 |
0,0001906 |
10 |
0,0002541 |
10 |
0,0000148 |
11 |
0,0002393 |
11 |
0,0016623 |
12 |
0,0019011 |
12 |
0,0047355 |
13 |
0,0066277 |
13 |
0,0001972 |
14 |
0,0064318 |
14 |
0,0441604 |
15 |
0,0503082 |
15 |
По отношению к предыдущему значению |
По отношению к аналитическому значению |
||
Критерийточности |
Количествоитераций |
Критерийточности |
Количествоитераций |
1,3475398 |
1 |
Не определен |
2 |
299,5162048 |
2 |
Не определен |
3 |
0,6511438 |
3 |
Не определен |
4 |
0,769284 |
4 |
Не определен |
5 |
0,831215 |
5 |
Не определен |
6 |
1,4512321 |
6 |
Не определен |
7 |
0,2898597 |
7 |
Не определен |
8 |
0,4690856 |
8 |
Не определен |
9 |
0,1021232 |
9 |
Не определен |
10 |
0,0488429 |
10 |
Не определен |
11 |
0,2428324 |
11 |
Не определен |
12 |
0,3262224 |
12 |
Не определен |
13 |
0,0297503 |
13 |
Не определен |
14 |
0,0498698 |
14 |
Не определен |
15 |
0,0221329 |
15 |
Не определен |
16 |
По отношению к предыдущему значению |
По отношению к аналитическому значению |
||
Критерийточности |
Количествоитераций |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,001854 |
1 |
0,0018223 |
1 |
0,0011909 |
2 |
0,0006292 |
2 |
0,0008299 |
3 |
0,0002012 |
3 |
0,0000531 |
4 |
0,0002543 |
4 |
0,0001553 |
5 |
0,0000991 |
5 |
0,0000502 |
6 |
0,0000489 |
6 |
0,0000104 |
7 |
0,0000385 |
7 |
0,0000078 |
8 |
0,0000307 |
8 |
0,0000058 |
9 |
0,0000365 |
9 |
0,000028 |
10 |
0,0000645 |
10 |
0,0000372 |
11 |
0,0000272 |
11 |
0,0001925 |
12 |
0,0002197 |
12 |
0,0004425 |
13 |
0,000662 |
13 |
0,0016719 |
14 |
0,0010088 |
14 |
0,0065919 |
15 |
0,0055898 |
15 |
По отношению к предыдущему значению |
По отношению к аналитическому значению |
||
Критерийточности |
Количествоитераций |
Критерийточности |
Количествоитераций |
0,0023198 |
1 |
0,0023715 |
1 |
0,0015105 |
2 |
0,0008646 |
2 |
0,0010463 |
3 |
0,0001808 |
3 |
0,0005129 |
4 |
0,0003322 |
4 |
0,0001719 |
5 |
0,0001603 |
5 |
0,0000787 |
6 |
0,0000817 |
6 |
0,0000228 |
7 |
0,0000589 |
7 |
0,0000053 |
8 |
0,0000536 |
8 |
0,0000017 |
9 |
0,0000518 |
9 |
0,0000023 |
10 |
0,0000541 |
10 |
0,0000167 |
11 |
0,0000708 |
11 |
0,000088 |
12 |
0,0000172 |
12 |
0,0000317 |
13 |
0,0000146 |
13 |
0,0013675 |
14 |
0,001382 |
14 |
0,0006897 |
15 |
0,0020707 |
15 |