Распределение термоэлектронов по скоростям

Под термоэлектронной эмиссией понимают выход электронов с поверхности металла при его нагревании. Это явление широко используется в электронных лампах. При нагревании катода электрическим током в результате термоэмиссии над ним образуется электронное облако - так называемый электронный газ. За счет кулоновских сил происходит хаотизация движения электронов и возникает некоторое распределение электронов по скоростям. Предположим, что это распределение является максвелловским (см. формулу (4)). Анод в лампе имеет цилиндрическую форму, а катод выполнен в виде очень узкого цилиндра, расположенного на оси анода (рис. 4).

Z

V

0

V_z

анод φ V_r

катод r

Рис. 4. Проекции вектора скорости в цилиндрической системе координат

Для электронов в лампе функцию распределения и элементарную вероятность dP(V) удобнее записать в цилиндрической системе координат:

(11)

где под α в соответствии с формулой (4) обозначена величина:

(12)

где m – масса электрона, Т – температура электронного газа, определяемая температурой катода.

Из формулы (11) можно найти число электронов dn(V_r), значение радиальных компонентов скорости у которых лежит в интервале от V_r до V_r+dV_r. Для этого надо проинтегрировать формулу (11) по углу φ от 0 до 2π и по компоненте скорости V_z от - ∞ до + ∞:

(по V_z) (по φ) (13)

При расчете использовано значение интеграла вида

Из равенства (13) вытекает, что в плоскости перпендикулярной оси Z распределение электронов изотропно, т. е. не зависит от угла φ и координаты Z, что и следовало ожидать исходя из геометрии электродов.

Теория метода измерения

Чтобы исследовать реальное распределение термоэлектронов по скоростям, используется метод задерживающего потенциала. Если между сеткой 1 и 2 приложить задерживающую разность потенциалов (φ₂< φ₁): U₃= φ₂- φ₁ (рис. 5) то через сетку 2 пройдут только те электроны, кинетическая энергия которых достаточна для преодоления задерживающей разности потенциалов:

(14)

V_r>V_or

. . .

. . . .

.. . . . .

… . . .

А + φ₄

3 - φ₃

2 - φ₂

1 + φ₁

~

6,3V

Рис. 5. Устройство пентода

Следовательно, к аноду смогут пройти только электроны со скоростями V_r≥V_0r, где V_0r найдем из (14)

(15)

Для того, чтобы зарегистрировать все электроны, прошедшие сетку 2, со скоростями, удовлетворяющими условию (14), между сеткой 3 и анодом А подается ускоряющее напряжение (φ₄> φ₃) : U= φ₄- φ₃.

Таким образом по величине анодного тока можно судить о количестве электронов преодолевших задерживающий потенциал. За время t электроны в направлении анода пройдут расстояние V_rt, следовательно, все электроны из объема V_r t S_a (S_a – площадь анода), со скоростями V_r> V_0r, достигнут анода. Их число c учетом (13) будет равно:

(16)

Так как величина тока в анодной цепи : ,то используя формулу (16), имеем:

(17)

где е_э – заряд электрона.

Из (17) видно, что производная от I по V_r дает с точностью до постоянной распределение Максвелла по скоростям (см. (4)):

(18)

Идея опыта выглядит следующим образом. Согласно (17) ток равен интегральному выражению с переменным нижним пределом, так как V_0r ~ , то меняя величину задерживающего потенциала мы можем построить зависимость I( ). Беря производную от этой функции по мы найдем распределения термоэлектронов по скоростям, если построим зависимость как функцию от .