Кодирование и декодирование числовой информации

При кодировании числовой информации используют системы счисления.

Система счисления – способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. Например, для десятичной системы счисления:

523 = 5 * 10² + 2 * 10¹+ 3 * 10⁰

В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Например, для римской системы счисления:

XXVIII=10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1

Римская система счисления имеет отклонения от непозиционной системы, т.к. в числах LX и XL символ Х принимает два значения: +10 и - 10.

Двоичная система счисления является позиционной, имеет основание 2 и использует для представления информации всего две цифры 0 и 1.

Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую. Схема перевода числа из системы счисления с основанием P в десятичную:

a_ma_m-1...a₁a₀a _-1...a _-s= a_m*P^m+a_m-1*P^m-1+...+a₁*P¹+a₀*P⁰+a _-1*P^-1+...a _-s*P ^-s .

Например, (100011)₂ = 1*2⁵+0*2⁴+0*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰ = (35)₁₀.

Для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с основанием Р число делится на Р и записываются остатки в обратном порядке. Например,

35	:	2	=	17	остаток	1
1 (35)10 = (100011)2 7	:	2	=	8	остаток	1
8	:	2	=	4	остаток	0
4	:	2	=	2	остаток	0
2	:	2	=	1	остаток	0
1	:	2	=	0	остаток	1

При переводе дробной части числа из десятичной системы счисления в систему с основанием Р дробные части умножаются на основание Р и записывается целые части произведения. Например, для числа 0,8125

(0,8125)10=(0,1101)2. 0,	8125
	2
1,	6250
	2
1,	2500
	2
0,	5000
	2
1,	0000

При программировании иногда используют восьмеричную (Р=8) и шестнадцатеричную (Р=16) системы счисления. Для изображения цифр, больших 9, в 16-ричной системе счисления применяются буквы.

Так как, числа 8 и 16 являются степенью числа 2 (2³ и 2⁴), то перевод целых чисел из двоичной системы в 8-ричную и 16-ричную и обратно очень прост. Двоичное число разбивается на триады (по 3 знака) или тетрады (по 4 знака), и каждая группа кодируется отдельно.

Таблица 1.2

Таблица результатов сложения, вычитания и умножения двоичных чисел

Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0	0 - 0 = 0	0 х 0 = 0
0 + 1 = 1	1 - 0 = 1	0 х 1 = 0
1 + 0 = 1	1 - 1 = 0	1 х 0 = 0
1 + 1 = 10	10 - 1 = 1	1 х 1 = 1

Пример 1. Используя таблицу перевода, перевести числа из одной системы счисления в другую.

	(13)10 = (1101)2 = (15)8 = (D)16; Перевод числа 11100111010001 из двоичной в десятичную (по правилу) (11100111010001)2=(14801)10 , в восьмиричную (по таблице) (011 100 111 010 001)2 = (34721)8 , в шестнадцатиричную (по таблице) (0011 1001 1101 0001)2 = (39D1)16 . Р=10		Р=2		Р=8		Р=16
	1		1		1		1
	2		10		2		2
	3		11		3		3
	4		100		4		4
	5		101		5		5
	6		110		6		6
	7		111		7		7
	8		1000		10		8
	9		1001		11		9
	10		1010		12		A
	11		1011		13		B
12		1100		14		C
13		1101		15		D
14		1110		16		E
15		1111		17		F

Пример 2.

10010	10010	10010	10010
+ 11	- 11	х 11	: 11
10101	1111	110110	110

Среди логических функций наибольшее распространение получили инверсия (отрицание, NOT, НЕ), конъюнкция (AND или логическое умножение) и дизъюнкция (OR или логическое сложение) (табл.1.3)

Таблица 1.3

Таблица результатов логических операций над двоичными числами

x	y	НЕ x (NOT)	x И y (AND)	x ИЛИ y (OR)
0	0	1	0	0
0	1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	1	0	1	1

Пример 3.

10010 AND 11 = 10

10010 OR 1 = 10011